Разбор 10 задания ОГЭ по математике
Задание 10 — на теорию вероятностей. Нужно найти вероятность события: по классической формуле, через противоположное событие, дерево или диаграмму Эйлера — точным подсчётом исходов, без калькулятора. Развёрнутое решение не нужно, но 1 балл ставят только за полностью верный числовой ответ.
Задача 1
Тип 1У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Источник: Банк ФИПИВсе чашки либо с красными, либо с синими цветами. Вычитаем красные из общего количества.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 2
Тип 2На экзамене 50 билетов, Маша не выучила 10 из них. Найдите вероятность того, что ей попадётся выученный билет.
Источник: Банк ФИПИНужен выученный билет. Из всех билетов вычитаем невыученные.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 3
Тип 3В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 чёрная, 1 жёлтая и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Источник: Банк ФИПИНужен цвет «жёлтый»: таких машин 1. В модели задачи каждая из свободных машин имеет одинаковый шанс оказаться ближайшей.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 4
Тип 4Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,29. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Источник: Банк ФИПИРучка либо пишет хорошо, либо пишет плохо или не пишет. Вероятность второго события равна 0,29; сумма вероятностей этих двух событий равна 1.
Вычитаем именно данную вероятность из 1, чтобы получить вероятность хорошей ручки.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 5
Тип 5В магазине канцтоваров продаётся 84 ручки: 22 красных, 9 зелёных, 41 фиолетовая, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.
Источник: Банк ФИПИПодходят цвета «красный» и «фиолетовый». Одна ручка не относится к обоим цветам сразу, поэтому числа складываем.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 6
Тип 6В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.
Источник: Банк ФИПИЖребий равновероятно назначает первым любого участника, независимо от страны.
Для «не из» исключаем названную страну; для «или» складываем участников указанных стран.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 7
Тип 7В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, четыре неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Источник: Банк ФИПИИз 200 фонариков исключаем 4 неисправных.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 8
Тип 8Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.
Источник: Банк ФИПИПазлов с машинами 21; каждый получает случайного адресата из 25 детей. Для одного названного ребёнка благоприятных назначений 21.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 9
Тип 9Под классной доской в лотке лежат 28 чёрных и 7 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.
Источник: Банк ФИПИСиних маркеров 7, а все возможные исходы включают оба цвета.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 10
Тип 10Из ящика, где хранятся 10 жёлтых и 16 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.
Источник: Банк ФИПИПервый зелёный карандаш уже вынули и не вернули: уменьшаются и общее число карандашей, и число зелёных.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Первый зелёный карандаш — известное условие. Его вероятность повторно не умножаем. После извлечения уменьшаем и числитель, и знаменатель на 1.
Задача 11
Тип 11Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.
Источник: Банк ФИПИОбщее число орлов за все броски известно, поэтому число решек равно оставшемуся числу бросков.
При известном количестве орлов все расположения этих 9 орлов по 20 позициям равновероятны. Для любой фиксированной позиции вероятность решки равна доле решек; номер позиции её не меняет.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Здесь известен итог всех бросков. Требуется условная вероятность для одной позиции при этом итоге, поэтому нельзя автоматически отвечать 0,5.
Задача 12
Тип 12В случайном опыте $N = 30$ равновозможных элементарных событий, из которых $N(A) = 27$ благоприятствуют событию $A$. Вычислите вероятность события $A$.
Источник: Банк ФИПИВсего элементарных исходов 30, событию A благоприятствуют 27. Равновозможность исходов указана в условии.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 13
Тип 13На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.
Источник: Банк ФИПИ
Из корня ветвь A имеет вероятность 0,25, ветвь не-A — 0,75. После A ветвь B имеет вероятность 0,375, после не-A — 0,875. Суммы исходящих из каждой вершины вероятностей равны 1.
Вероятности вдоль одного пути перемножаются. Вероятность второй ветви условная: независимость A и B здесь не предполагается.
Событие B достигается либо через A, либо через не-A. Эти пути не пересекаются, поэтому вероятности складываем.
Где теряют балл: По одному пути вероятности перемножают, а вероятности разных несовместных путей складывают. Используй обе ветви, ведущие к B.
Задача 14
Тип 14На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap B$.
Источник: Банк ФИПИ
только A — 0,3; пересечение A и B — 0,1; только B — 0,2; вне обоих событий — 0,4. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.
В нужное событие входят области: пересечение A и B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.
Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.
Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.
Задача 15
Тип 15На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A$.
Источник: Банк ФИПИ
только A — 18; пересечение A и B — 6; только B — 12; вне обоих событий — 24. Числа — количества равновозможных исходов.
В нужное событие входят области: только A, пересечение A и B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.
Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.
Задача 16
Тип 16На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $B$.
Источник: Банк ФИПИ
только A — 0,3; пересечение A и B — 0,4; только B — 0,15; вне обоих событий — 0,15. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.
В нужное событие входят области: пересечение A и B, только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.
Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.
Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.
Задача 17
Тип 17На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события $B$.
Источник: Банк ФИПИ
только A — 3; пересечение A и B — 2; только B — 4; вне обоих событий — 1. Числа — количества равновозможных исходов.
В нужное событие входят области: пересечение A и B, только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.
Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.
Задача 18
Тип 1У бабушки 20 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Источник: Банк ФИПИВсе чашки либо с красными, либо с синими цветами. Вычитаем красные из общего количества.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 19
Тип 2На экзамене 20 билетов, Оскар не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Источник: Банк ФИПИНужен выученный билет. Из всех билетов вычитаем невыученные.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 20
Тип 3В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 чёрная, 1 жёлтая и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Источник: Банк ФИПИНужен цвет «жёлтый»: таких машин 1. В модели задачи каждая из свободных машин имеет одинаковый шанс оказаться ближайшей.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 21
Тип 4Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Источник: Банк ФИПИРучка либо пишет хорошо, либо пишет плохо или не пишет. Вероятность второго события равна 0,02; сумма вероятностей этих двух событий равна 1.
Вычитаем именно данную вероятность из 1, чтобы получить вероятность хорошей ручки.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 22
Тип 5В магазине канцтоваров продаётся 206 ручек: 20 красных, 8 зелёных, 12 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или синей.
Источник: Банк ФИПИОстаток делится поровну между синими и чёрными ручками.
Подходят цвета «красный» и «синий». Одна ручка не относится к обоим цветам сразу, поэтому числа складываем.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 23
Тип 6В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 1 спортсмен из Норвегии и 2 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии.
Источник: Банк ФИПИЖребий равновероятно назначает первым любого участника, независимо от страны.
Для «не из» исключаем названную страну; для «или» складываем участников указанных стран.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 24
Тип 7В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, шесть неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Источник: Банк ФИПИИз 150 фонариков исключаем 6 неисправных.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 25
Тип 8Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 5 с машинами и 5 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Витя. Найдите вероятность того, что Вите достанется пазл с машиной.
Источник: Банк ФИПИПазлов с машинами 5; каждый получает случайного адресата из 10 детей. Для одного названного ребёнка благоприятных назначений 5.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 26
Тип 9Под классной доской в лотке лежат 12 чёрных и 8 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.
Источник: Банк ФИПИСиних маркеров 8, а все возможные исходы включают оба цвета.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 27
Тип 10Из ящика, где хранятся 14 жёлтых и 12 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.
Источник: Банк ФИПИПервый зелёный карандаш уже вынули и не вернули: уменьшаются и общее число карандашей, и число зелёных.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Первый зелёный карандаш — известное условие. Его вероятность повторно не умножаем. После извлечения уменьшаем и числитель, и знаменатель на 1.
Задача 28
Тип 11Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 13 раз. Найдите вероятность того, что при девятом по счёту броске выпала решка.
Источник: Банк ФИПИОбщее число орлов за все броски известно, поэтому число решек равно оставшемуся числу бросков.
При известном количестве орлов все расположения этих 13 орлов по 20 позициям равновероятны. Для любой фиксированной позиции вероятность решки равна доле решек; номер позиции её не меняет.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Здесь известен итог всех бросков. Требуется условная вероятность для одной позиции при этом итоге, поэтому нельзя автоматически отвечать 0,5.
Задача 29
Тип 12В случайном опыте $N = 40$ равновозможных элементарных событий, из которых $N(A) = 28$ благоприятствуют событию $A$. Вычислите вероятность события $A$.
Источник: Банк ФИПИВсего элементарных исходов 40, событию A благоприятствуют 28. Равновозможность исходов указана в условии.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 30
Тип 13На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.
Источник: Банк ФИПИ
Из корня ветвь A имеет вероятность 0,25, ветвь не-A — 0,75. После A ветвь B имеет вероятность 0,4, после не-A — 0,2. Суммы исходящих из каждой вершины вероятностей равны 1.
Вероятности вдоль одного пути перемножаются. Вероятность второй ветви условная: независимость A и B здесь не предполагается.
Событие B достигается либо через A, либо через не-A. Эти пути не пересекаются, поэтому вероятности складываем.
Где теряют балл: По одному пути вероятности перемножают, а вероятности разных несовместных путей складывают. Используй обе ветви, ведущие к B.
Частые ошибки в задании 10
Почти все потерянные баллы в номере 10 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.
Классическая вероятность — это отношение благоприятных исходов к общему числу исходов. Частая ошибка — разделить нужное количество на число исходов другого вида, а не на общее число.
Если известна вероятность события «плохо» или «неисправен», а спрашивают про «хорошо» или «исправен», нужно вычесть данное значение из 1, а не переписать его в ответ как есть.
Если по условию первый предмет уже выбран (без возвращения) и известен его результат, для второго предмета общее число и число нужного вида уменьшаются на 1 — использовать исходные числа нельзя.
На дереве случайного опыта нужное событие часто достижимо не одним, а несколькими путями. Если посчитать вероятность только одного пути, ответ получится заниженным.
Круг A на диаграмме Эйлера включает не только область, где нет B, но и общую часть с B. Если для события A взять только область «только A», ответ получится заниженным.
Вопросы про задание 10
Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT проконтроллирует
Пиши решение на доске, как в тетради. ИИ видит каждую строчку по мере появления и подсказывает ровно там, где ты свернул не туда — не решает за тебя.
Демонстрация: ученик решает геометрическую задачу ОГЭ с окружностью, правильно находит первый угол и спрашивает, как продолжить. ClassGPT считывает чертёж, выделяет два радиуса и наводит ученика на свойство равнобедренного треугольника.
Разборы других заданий ОГЭ по математике
Часть 1 — задания 1–19, часть 2 — задания 20–25. Выбери номер, чтобы перейти к его разборам.