Разбор задания 13 ОГЭ по математике: 11 типов с решениями

Тип 1 из 11

Условие

Укажите решение неравенства $-3 - 3x < 7x - 9$.

1) $(-\infty; 0{,}6)$
2) $(-\infty; 1{,}2)$
3) $(0{,}6; +\infty)$
4) $(1{,}2; +\infty)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$-3-3x<7x-9$

$-3+9<7x+3x$

Прибавляем к обеим частям 3x и 9. При переносе через знак неравенства слагаемое меняет знак.

$6<10x$

$0{,}6<x$

$x>0{,}6$

Делим обе части на положительное число 10: знак сохраняется. Последняя запись означает то же самое, только x стоит слева.

$x\in(0{,}6;+\infty)$

Неравенство строгое, поэтому 0,6 не входит в решение. Подходит вариант 3; в ответ записываем номер варианта.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: включили 0,6 в решение или выбрали левый луч. Нужно x > 0,6: правая часть оси без граничной точки.

Тип 2 из 11

Условие

Укажите решение системы неравенств $\begin{cases} x - 3 \ge 0, \\ x - 0{,}2 \ge 2. \end{cases}$

1) $[2{,}2; +\infty)$
2) $[3; +\infty)$
3) $[2{,}2; 3]$
4) $(-\infty; 2{,}2] \cup [3; +\infty)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x-3\ge0$

$x\ge3$

Прибавляем 3 к обеим частям. Подходят 3 и все числа правее него.

$x-0{,}2\ge2$

$x\ge2+0{,}2$

$x\ge2{,}2$

Прибавляем 0,2 к обеим частям. Подходят 2,2 и все большие числа.

$[3;+\infty)\cap[2{,}2;+\infty)=[3;+\infty)$

Каждое число не меньше 3 подходит и ко второму неравенству. А числа от 2,2 до 3 не выполняют первое условие. Правильный вариант — 2.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: взяли объединение лучей или отрезок от 2,2 до 3. Система требует одновременного выполнения обоих условий.

Тип 3 из 11

Условие

Укажите решение системы неравенств: $\begin{cases} x + 3{,}2 \le 0 \\ x + 1 \le -1 \end{cases}$

Четыре варианта на числовой оси: объединение внешних лучей, левый луч до −3,2, отрезок от −3,2 до −2 и правый луч от −3,2; точки закрашены.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x+3{,}2\le0$

$x\le-3{,}2$

Вычитаем 3,2 из обеих частей. Это левый луч, включающий −3,2.

$x+1\le-1$

$x\le-2$

Вычитаем 1 из обеих частей. Получаем второй левый луч с границей −2.

$(-\infty;-3{,}2]\cap(-\infty;-2]=(-\infty;-3{,}2]$

Числа не больше −3,2 удовлетворяют обоим условиям. Например, −3 подходит только второму неравенству и в решение системы не входит.

$x\le-3{,}2$

Нужна штриховка влево от −3,2 и закрашенная граничная точка. Это рисунок 2.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: выбрали промежуток между −3,2 и −2. Для пересечения двух левых лучей берём луч до меньшей границы.

Тип 4 из 11

Условие

Укажите решение неравенства: $(x + 2)(x - 7) > 0$

Четыре варианта решения: правый луч от 7, правый луч от −2, два внешних луча с границами −2 и 7, интервал от −2 до 7; граничные точки выколоты.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x+2=0\Rightarrow x=-2$

$x-7=0\Rightarrow x=7$

В этих точках произведение равно нулю. Они разбивают числовую ось на три промежутка.

$x<-2:\quad (-)\cdot(-)=+$

$-2<x<7:\quad (+)\cdot(-)=-$

$x>7:\quad (+)\cdot(+)=+$

Слева оба множителя отрицательны, между корнями — разных знаков, справа оба положительны.

$x\in(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)$

Нужно произведение строго больше нуля. Точки −2 и 7 не включаем; на рисунке они должны быть выколоты.

Штриховка снаружи промежутка от −2 до 7 и две выколотые точки показаны в варианте 3. Ответ: 3.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: учли только случай, когда оба множителя положительны, и потеряли левый луч. Два отрицательных множителя тоже дают положительное произведение.

Тип 5 из 11

Условие

Укажите решение неравенства $(x + 2)(x - 7) \le 0$.

1) $[-2; 7]$
2) $(-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$
3) $(-\infty; 7]$
4) $(-\infty; -2]$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x+2=0\Rightarrow x=-2$

$x-7=0\Rightarrow x=7$

В корнях произведение равно нулю. Знак ≤ разрешает равенство нулю.

$-2<x<7:\quad x+2>0,\quad x-7<0$

$(x+2)(x-7)<0$

Между корнями множители разных знаков. Снаружи они одного знака, поэтому произведение положительно и не подходит.

$x\in[-2;7]$

Включаем −2 и 7: в обеих точках получается 0 ≤ 0. Это вариант 1.

Ответ 1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: выкололи корни, хотя неравенство нестрогое, или выбрали внешние лучи, где произведение положительно.

Тип 6 из 11

Условие

Укажите решение неравенства $x^2 - 36 \ge 0$.

1) $(-\infty; +\infty)$
2) нет решений
3) $(-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$
4) $[-6; 6]$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x^2-36=(x-6)(x+6)$

$(x-6)(x+6)\ge0$

Используем формулу a² − b² = (a − b)(a + b). Корни: −6 и 6.

$x<-6:\quad (-)\cdot(-)=+$

$-6<x<6:\quad (-)\cdot(+)=-$

$x>6:\quad (+)\cdot(+)=+$

Нужны положительные значения и нули, поэтому подходит внешняя часть оси вместе с корнями.

$x\in(-\infty;-6]\cup[6;+\infty)$

Это вариант 3. Проверка: при x = 0 получаем −36, поэтому средний отрезок точно не подходит.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: из x² ≥ 36 оставили только x ≥ 6. Отрицательные числа x ≤ −6 также дают квадрат не меньше 36.

Тип 7 из 11

Условие

Укажите решение неравенства: $81x^2 \le 16$

Четыре рисунка с дробными границами: левый луч до −4/9, отрезок от −4/9 до 4/9, правый луч от −4/9 и два внешних луча; точки закрашены.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$81x^2\le16$

$x^2\le\dfrac{16}{81}$

Число 81 положительно, поэтому при делении знак неравенства не меняется.

$\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{4}{9}$

$-\dfrac{4}{9}\le x\le\dfrac{4}{9}$

Квадрат числа не больше 16/81, если расстояние от этого числа до нуля не больше 4/9. Поэтому нужны две границы, а не одна.

$x\in\left[-\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9}\right]$

Нужен отрезок между −4/9 и 4/9 с закрашенными концами. Это рисунок 2. На границах 81x² = 16, поэтому они включены.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: получили только x ≤ 4/9 и забыли нижнюю границу. Например, x = −1 выполняет это условие, но не исходное неравенство.

Тип 8 из 11

Условие

Укажите решение неравенства: $6x - x^2 \le 0$

Четыре варианта на оси: отрезок от 0 до 6, правый луч от 0, правый луч от 6 и два внешних луча с границами 0 и 6; точки закрашены.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6x-x^2\le0$

$x^2-6x\ge0$

Умножаем на отрицательное число −1, поэтому знак ≤ обязательно заменяем на ≥.

$x(x-6)\ge0$

$x=0\quad\text{или}\quad x=6$

Корни 0 и 6 делят ось на три промежутка.

$x<0:\quad (-)\cdot(-)=+$

$0<x<6:\quad (+)\cdot(-)=-$

$x>6:\quad (+)\cdot(+)=+$

$x\in(-\infty;0]\cup[6;+\infty)$

Берём внешние промежутки, где произведение положительно, и корни, где оно равно нулю.

Два внешних луча с закрашенными точками 0 и 6 изображены в варианте 4. Проверка: x = 3 даёт 18 − 9 = 9, поэтому середина не подходит.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: умножили на −1, но сохранили знак ≤. Тогда получится противоположное решение — отрезок между корнями.

Тип 9 из 11

Условие

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

На числовой оси заштрихованы лучи левее −5 и правее 5; точки −5 и 5 выколоты.

1) $x^2 - 25 > 0$
2) $x^2 - 25 < 0$
3) $x^2 + 25 < 0$
4) $x^2 + 25 > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x<-5\quad\text{или}\quad x>5$

$x\in(-\infty;-5)\cup(5;+\infty)$

Штриховка идёт наружу от −5 и 5. Обе точки выколоты, поэтому сами границы в решение не входят.

$x^2>25$

$x^2-25>0$

Числа левее −5 и правее 5 по модулю больше 5, значит их квадраты больше 25. Это неравенство в варианте 1.

$x^2-25<0\Rightarrow -5<x<5$

$x^2+25\ge25>0$

Вариант 2 задаёт середину. Вариант 3 не имеет решений, а вариант 4 выполняется при любом x. Только вариант 1 совпадает с рисунком.

Ответ 1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: не посмотрели на направление штриховки или на выколотые точки: внешние лучи соответствуют строгому знаку >, а не <.

Тип 10 из 11

Условие

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

На числовой оси заштрихован отрезок от 0 до 5, обе граничные точки закрашены.

1) $x^2 - 5x \le 0$
2) $x^2 - 25 \le 0$
3) $x^2 - 5x \ge 0$
4) $x^2 - 25 \ge 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0\le x\le5$

$x\in[0;5]$

Штриховка находится между 0 и 5. Точки закрашены, значит границы включены.

$x^2-5x=x(x-5)$

$x(x-5)=0\Rightarrow x=0\quad\text{или}\quad x=5$

У выражения x² − 25 другие корни: −5 и 5. Поэтому варианты 2 и 4 не подходят по границам.

$0<x<5:\quad x>0,\quad x-5<0$

$x(x-5)<0$

Внутри отрезка произведение отрицательно, на концах — ноль. Нужен знак ≤.

$x^2-5x\le0$

Это вариант 1. Вариант 3 со знаком ≥ задаёт внешние лучи вместо отрезка.

Ответ 1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: выбрали x² − 25 из-за числа 5, не проверив второй корень. На рисунке левая граница 0, а не −5.

Тип 11 из 11

Условие

Укажите решение неравенства: $8x - x^2 \le 0$

1) $[8; +\infty)$
2) $[0; 8]$
3) $(-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$
4) $[0; +\infty)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8x-x^2\le0$

$x^2-8x\ge0$

$x(x-8)\ge0$

При умножении на −1 знак меняется на противоположный. Затем выносим x за скобки.

$x=0\quad\text{или}\quad x=8$

$x<0:\quad (-)\cdot(-)=+$

$0<x<8:\quad (+)\cdot(-)=-$

$x>8:\quad (+)\cdot(+)=+$

Снаружи промежутка между корнями произведение положительно. В корнях оно равно нулю, что тоже разрешено.

$x\in(-\infty;0]\cup[8;+\infty)$

Подходит вариант 3. Правый луч из варианта 1 — только часть решения: отрицательные x тоже удовлетворяют исходному неравенству.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: потеряли левый луч или оставили знак ≤ после умножения на −1. Проверяй исходное выражение числом из каждого выбранного промежутка.

Частые ошибки в задании 13

Почти все потерянные баллы в номере 13 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.

Знак неравенства Не изменили знак при делении на отрицательное число

После умножения 6x − x² ≤ 0 на −1 оставили знак ≤ и получили противоположные промежутки.

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число меняй знак: < на >, а ≤ на ≥, и наоборот.

Границы Перепутали закрашенные и выколотые точки

Включили корни в строгое неравенство или исключили их, хотя допускается равенство нулю.

Для < и > граничные корни исключай: круглая скобка, выколотая точка. Для ≤ и ≥ включай: квадратная скобка, закрашенная точка. У бесконечности всегда круглая скобка.

Система Взяли объединение вместо пересечения

Выбрали числа, которые выполняют хотя бы одно неравенство системы, хотя нужно выполнить оба.

Реши неравенства отдельно и оставь только общую часть. Проверь любое выбранное число сразу в обоих условиях.

Знаки произведения Потеряли один из внешних лучей

Для положительного произведения рассмотрели только два положительных множителя и забыли про два отрицательных.

Разбей ось корнями и проверь знаки на каждом промежутке. Два минуса при умножении тоже дают плюс.

Номер ответа Записали промежуток вместо номера варианта

Нашли правильное решение, но не сопоставили его с предложенными вариантами или рисунками.

После решения проверь границы, скобки и направление штриховки. В этих задачах ответом служит номер подходящего варианта.

Вопросы про задание 13

Когда нужно менять знак неравенства?

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число. При сложении и вычитании одного и того же числа знак сохраняется. При переносе слагаемого меняется знак самого слагаемого, а не знак неравенства.

Как решать систему неравенств?

Реши каждое неравенство отдельно, затем найди пересечение решений: числа, которые удовлетворяют всем неравенствам одновременно. Например, общая часть x ≥ 3 и x ≥ 2,2 — это x ≥ 3.

Что означают закрашенные и выколотые точки на числовой оси?

Закрашенная точка входит в решение, выколотая — не входит. В записи промежутков этому соответствуют квадратная и круглая скобки. Рядом с бесконечностью ставят только круглую скобку.

Как определить знак произведения на промежутках?

Найди нули множителей и раздели ими ось. На каждом промежутке определи знак каждого множителя: одинаковые знаки дают положительное произведение, разные — отрицательное. Можно подставить по одному пробному числу из каждого промежутка.

Что записывать в ответ в этих задачах?

Номер правильного варианта. Сам промежуток или неравенство сначала получи в решении, затем найди совпадающий вариант среди предложенных записей или рисунков.

Разбор задания 13 ОГЭ по математике

Тип 1 из 11

Тип 2 из 11

Тип 3 из 11

Тип 4 из 11

Тип 5 из 11

Тип 6 из 11

Тип 7 из 11

Тип 8 из 11

Тип 9 из 11

Тип 10 из 11

Тип 11 из 11

Частые ошибки в задании 13

Вопросы про задание 13

Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT проконтроллирует

Разборы других заданий ОГЭ по математике

Надоело читать разбор?