Разбор задания 20 ОГЭ по математике
Задание 20 — первое в части 2. Здесь проверяют, умеешь ли ты решать уравнения, неравенства и их системы и записывать решение так, чтобы его понял эксперт. Никаких вариантов ответа: 2 балла ставят за полный ход решения, а не за одну цифру в ответе.
Ниже — 21 тип номера 20 из банка ФИПИ. И полный разбор по шагам:
Тип 1 из 21
Решите уравнение:
Перед вторыми скобками минус — знаки внутри меняются.
В обеих скобках получилось (x + 5) — группировка верна.
x² − 1 — разность квадратов, раскладывается сразу.
Три линейных множителя — три корня.
Где теряют балл: не увидели общую скобку после группировки и попытались решать кубическое уравнение подбором корней вместо разложения.
Тип 2 из 21
Решите уравнение:
x² + 6x + 9 — это (x + 3)²: узнаём формулу квадрата суммы.
Не сокращай на (x + 3) — так можно потерять корень x = −3.
Выносим множитель, а не сокращаем — тогда оба корня останутся в уравнении.
D = 9 + 16 = 25, корни −4 и 1.
Три множителя — три корня, включая тот, что легко потерять при сокращении.
Где теряют балл: сократили обе части на (x + 3), решив, что оно не равно нулю — и потеряли корень x = −3.
Тип 3 из 21
Решите уравнение:
Теперь это разность квадратов: a = x², b = x − 2.
Раскрывать каждую скобку внутри не нужно — только следим за знаком при b.
Отрицательный дискриминант — действительных корней нет, первая скобка ничего не даёт.
D = 1 + 8 = 9 — можно и через дискриминант, и подбором.
Где теряют балл: раскрыли (x − 2)² вручную и решали уравнение четвёртой степени напролом — разность квадратов сокращает работу вдвое.
Тип 4 из 21
Решите уравнение:
Условие t ≥ 0 обязательно: квадрат не бывает отрицательным.
t = −3 не подходит по условию t ≥ 0 — сразу отбрасываем.
Берём только положительный корень t = 7.
Не забывай про оба знака ± при извлечении корня.
Где теряют балл: забыли отбросить t = −3 или взяли только один знак при извлечении корня из (x − 4)² = 7.
Тип 5 из 21
Решите уравнение:
Без этого шага легко принять посторонний корень.
Слагаемое одинаковое слева и справа — его можно просто убрать, а не возводить в квадрат.
D = 4 + 60 = 64, либо сразу через разложение.
Корень 5 не входит в ОДЗ, хотя алгебраически он «правильный».
Где теряют балл: нашли оба корня квадратного уравнения и записали в ответ оба, забыв проверить x ≤ 4.
Тип 6 из 21
Решите уравнение:
Сумма квадратов равна нулю только когда оба слагаемых — нули одновременно.
Обычное уравнение вида x² = a.
D = 1 + 48 = 49, либо сразу разложением.
В ответ идёт только то значение, которое подходит обоим уравнениям сразу.
Где теряют балл: записали в ответ все корни обоих уравнений вместо пересечения — например, добавили лишний x = 4 или x = 3.
Тип 7 из 21
Решите уравнение:
1/x² — это как раз t², если t = 1/x.
Обычное квадратное уравнение, дальше — обратная замена.
Оба значения x ≠ 0 — ОДЗ не нарушено.
Где теряют балл: нашли корни по t и забыли сделать обратную замену — записали в ответ 2 и −6 вместо 1/2 и −1/6.
Тип 8 из 21
Решите уравнение:
1/(x − 2)² — это t², если t = 1/(x − 2).
Дальше — обратная замена для каждого корня отдельно.
Оба значения не равны 2 — ОДЗ не нарушено.
Где теряют балл: перепутали, куда подставлять: записали x = 3 и x = −2 (значения t) вместо результата обратной замены.
Тип 9 из 21
Решите систему уравнений:
Левая часть теперь совпадает с левой частью второго уравнения.
Квадраты x² и y² полностью исчезли — осталось линейное уравнение.
Простое деление — никаких квадратных уравнений решать не пришлось.
Возвращаемся к любому из исходных уравнений — обычно проще к первому.
Где теряют балл: не заметили кратность левых частей и пытались решать систему подстановкой — вычисления резко усложняются.
Тип 10 из 21
Решите систему уравнений:
y входит с противоположными знаками (+y и −y) — сразу сокращается.
Простое деление на 3.
Не забывай оба знака при извлечении корня из x².
Оба значения x дают одно и то же y, потому что в первое уравнение x входит только в квадрате.
Где теряют балл: нашли x² = 4 и остановились на x = 2, забыв про x = −2.
Тип 11 из 21
Решите систему уравнений:
Оба уравнения — это y = ..., значит их правые части равны между собой.
Переносим всё в одну часть и упрощаем.
Два корня — значит, у системы два решения.
Удобнее подставлять в более простое уравнение — второе.
Где теряют балл: нашли только x и не досчитали y, либо перепутали местами x и y в паре.
Тип 12 из 21
Найдите значение выражения:
Умножаем обе части на знаменатель (4a − 3b + 8) — он не равен нулю, раз дробь существует.
Просто раскрываем правую часть.
Приводим подобные слагаемые по a и по b отдельно.
Не нужно находить a и b по отдельности — достаточно узнать нужную комбинацию.
Где теряют балл: попытались найти a и b по отдельности из одного уравнения — это невозможно, у системы бесконечно много решений.
Тип 13 из 21
Решите неравенство:
Раз числитель отрицателен, дробь неотрицательна только при отрицательном знаменателе.
Знаменатель не может быть равен нулю — строгое неравенство это и так исключает.
Квадрат меньше числа — двусторонний промежуток вокруг нуля.
Прибавляем 4 к обеим границам.
Где теряют балл: забыли, что числитель отрицательный, и решали так, будто нужно (x − 4)² − 6 > 0 — получили противоположный по смыслу промежуток.
Тип 14 из 21
Решите неравенство:
Так неравенство читается проще, чем с (x − 11) на каждом шаге.
Ни в коем случае не дели обе части на u — его знак неизвестен.
Произведение отрицательно между корнями 0 и √5.
Парабола с ветвями вверх отрицательна строго между своими корнями.
Прибавляем 11 ко всем частям двойного неравенства.
Где теряют балл: разделили обе части на u = x − 11, решив, что оно положительно — это недопустимо без метода интервалов.
Тип 15 из 21
Решите неравенство:
D = 16 + 84 = 100, корни 3 и −7.
(3 − x) и (x − 3) отличаются только знаком: (3 − x) = −(x − 3).
Умножили обе части на −1 — знак неравенства поменялся на противоположный.
При x = 3 всё произведение равно нулю независимо от знака (x + 7) — это отдельная точка ответа.
Где теряют балл: не заметили изолированную точку x = 3 (там квадрат обнуляет всё произведение) и записали в ответ только x ≤ −7.
Тип 16 из 21
Решите неравенство:
D = 4 + 32 = 36, корни 4 и −2.
D = 81 − 80 = 1, корни 4 и 5.
(x − 4) встретился в обоих множителях — вместе они дают квадрат, который никогда не отрицателен.
Метод интервалов для (x + 2)(x − 5): вне корней — плюс, между ними — минус.
x = 4 добавляем отдельно — оно не попадает ни в один из двух промежутков.
Где теряют балл: решили неравенство как обычное произведение четырёх множителей через метод интервалов, не заметив, что (x − 4) даёт квадрат — и потеряли точку x = 4.
Тип 17 из 21
Решите неравенство:
Ни в коем случае не умножай сразу на x — его знак неизвестен.
Теперь это обычное дробное неравенство.
Разность квадратов — раскладывается без вычислений.
x = 0 всегда выколот — это точка вне ОДЗ, а не корень числителя.
Нули числителя −4 и 4 включаем (неравенство нестрогое), 0 — никогда.
Где теряют балл: умножили обе части на x, не разбирая случаи x > 0 и x < 0 — получили неверный или неполный ответ.
Тип 18 из 21
Решите неравенство:
x² − 8x + 16 — это полный квадрат (x − 4)².
Числитель 3(x − 4)² ≥ 0 при любом x — никогда не бывает отрицательным.
При x = 4 вся дробь равна нулю — условию ≤ 0 удовлетворяет, если знаменатель не ноль.
x = 4 не совпадает с исключённой точкой x = −8, поэтому включается в ответ отдельной точкой.
Где теряют балл: не заметили, что числитель — полный квадрат, и решали через полноценный метод интервалов с четырьмя промежутками вместо простого условия на знаменатель.
Тип 19 из 21
Решите неравенство:
Оба знаменателя должны быть не равны нулю.
Сравнивать дроби напрямую нельзя — знаки знаменателей неизвестны.
В числителе получилась постоянная величина −4 — знак дроби зависит только от знаменателя.
Отрицательный постоянный числитель ⇒ дробь ≥ 0 только при отрицательном знаменателе.
Где теряют балл: сравнили дроби напрямую («раз знаменатель больше — дробь меньше»), не учитывая, что знак x и x − 4 может быть разным.
Тип 20 из 21
Решите неравенство:
Умножать сразу на (x − 7) нельзя — его знак неизвестен.
В числителе раскрываем скобку и приводим подобные.
Квадраты x² сократились — остался линейный числитель.
Проверяем знак на пробной точке в каждом промежутке.
x = 0 включаем (неравенство нестрогое), x = 7 — никогда, это вне ОДЗ.
Где теряют балл: домножили обе части на (x − 7), не разобрав знак этого множителя — получили неверный промежуток.
Тип 21 из 21
Решите неравенство:
Стандартная формула a² − b².
(8 − x) = −(x − 8), поэтому пара множителей даёт минус перед квадратом.
Умножили обе части на −1 — неравенство поменяло знак на противоположный.
При x = 8 всё произведение равно нулю независимо от знака (x + 8).
Где теряют балл: не заметили изолированную точку x = 8 и записали в ответ только x ≤ −8.
Частые ошибки в задании 20
Почти все потерянные баллы в номере 20 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.
В уравнении со знаменателем или корнем нашли значение, которое нарушает ОДЗ, и всё равно записали его в ответ. Формально решение верное, фактически корня не существует.
В дробном неравенстве или неравенстве вида x ≤ a/x обе части умножили на знаменатель или на x. Его знак неизвестен, поэтому знак неравенства мог перевернуться.
Нашли t = 9 и записали в ответ 9. Но спрашивали x (или (x − a)), а не t.
Когда один и тот же множитель входит в произведение дважды, он даёт полный квадрат — точка, где этот множитель равен нулю, входит в ответ отдельно, даже если соседний множитель там нарушает нужный знак.
Нули знаменателя всегда выколоты, нули числителя в нестрогом неравенстве — включены. Круглая скобка вместо квадратной меняет ответ.
В системе уравнений ответ — пары (x; y); в неравенствах — промежуток. Просто список чисел эксперт не примет.
Вопросы про задание 20
Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT посмотрит
Пиши решение на доске, как в тетради. ИИ видит каждую строчку по мере появления и подсказывает ровно там, где ты свернул не туда — не решает за тебя.
Демонстрация: ученик решает геометрическую задачу ОГЭ с окружностью, правильно находит первый угол и спрашивает, как продолжить. ClassGPT считывает чертёж, выделяет два радиуса и наводит ученика на свойство равнобедренного треугольника.
Разборы других заданий ОГЭ по математике
Часть 1 — задания 1–19, часть 2 — задания 20–25. Разборы остальных номеров скоро появятся.