Разбор задания 17 ОГЭ по математике: 32 типа с решениями

Тип 1 из 32

Условие

Один из углов параллелограмма равен 111°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Параллелограмм без буквенных обозначений; величина одного угла дана в условии.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\alpha+\beta=180^\circ$

Обозначим известный угол α = 111°, соседний — β. Противоположные углы повторяют эти два значения.

$\beta=180^\circ-111^\circ=69^\circ$

Вычитаем из развёрнутого угла известный угол.

$69^\circ<111^\circ$

Меньший угол равен 69°. В ответ записываем 69 без знака градуса.

Ответ 69

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приравняли соседние углы. В параллелограмме равны противоположные углы, а соседние дополняют друг друга до 180°.

Тип 2 из 32

Условие

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный 44°. Ответ дайте в градусах.

Параллелограмм ABCD; из A проведена биссектриса к стороне BC, равные части угла A отмечены дугами.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$BC\parallel AD$

Обозначим точку пересечения биссектрисы с BC буквой E. Угол между AE и AD равен данному острому углу между AE и BC.

$\angle EAD=44^\circ$

$\angle BAE=\angle EAD$

AE — биссектриса, поэтому обе части угла BAD равны.

$\angle BAD=2\cdot44^\circ=88^\circ$

Полученный угол меньше 90°, значит, это искомый острый угол параллелограмма.

Ответ 88

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: записали 44° как весь угол A. Биссектриса делит его на две равные части.

Тип 3 из 32

Условие

Площадь параллелограмма равна 56, а две его стороны равны 7 и 28. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Параллелограмм с двумя высотами к соседним сторонам; у их оснований отмечены прямые углы.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$S=ah,\quad h=\dfrac Sa$

Для каждой стороны параллелограмма можно провести свою высоту, перпендикулярную этой стороне.

$h_1=\dfrac{56}{7}=8$

$h_2=\dfrac{56}{28}=2$

К стороне 7 высота равна 8, к стороне 28 — 2.

$2<8$

В ответе требуется только меньшая из двух высот: 2.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: разделили площадь на меньшую сторону и записали большую высоту. При одной площади высота обратно пропорциональна основанию.

Тип 4 из 32

Условие

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Параллелограмм: боковая сторона 13, высота 5; нижнее основание разделено высотой на отрезки 12 и 8.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a=12+8=20$

Высота делит нижнее основание на два отрезка 12 и 8. Их нужно сложить.

$h=5,\quad S=ah$

Отрезок с отметкой прямого угла перпендикулярен нижнему основанию и имеет длину 5. Число 13 относится к наклонной боковой стороне.

$S=20\cdot5=100$

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к нему.

Ответ 100

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: взяли за основание только отрезок 8 или умножили боковую сторону 13 на высоту к другому основанию. Полное основание равно 20.

Тип 5 из 32

Условие

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 10$, $BD = 22$, $AB = 9$. Найдите $DO$.

Параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в O.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$BO=OD$

Точка O — середина каждой диагонали параллелограмма.

$DO=\dfrac{BD}{2}$

DO составляет половину диагонали BD. Значения AC и AB для этого не нужны.

$DO=\dfrac{22}{2}=11$

Проверка: BO + OD = 11 + 11 = 22.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: разделили диагональ AC вместо BD или использовали сторону AB. Отрезок DO лежит на диагонали BD.

Тип 6 из 32

Условие

Один из углов ромба равен 99°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Ромб без буквенных обозначений; один из углов указан в условии.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\alpha+\beta=180^\circ$

Известный угол α = 99° тупой. Соседний с ним угол будет острым.

$\beta=180^\circ-99^\circ=81^\circ$

Противоположные углы ромба равны, поэтому других величин углов нет.

$81^\circ<99^\circ$

Меньший угол ромба равен 81°.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: решили, что все углы ромба равны. У ромба равны все стороны, а углы равны только попарно, как у параллелограмма.

Тип 7 из 32

Условие

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Равнобедренная трапеция: большее основание 14, высота 5, угол у левого конца основания 45°.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a=14,\quad h=5,\quad\alpha=45^\circ$

a — большее основание. Мысленно проведём вторую высоту из другого конца меньшего основания.

$x=h=5$

По краям получаются равные прямоугольные треугольники. При остром угле 45° их катеты равны.

$b=a-2x=14-2\cdot5=4$

Средний отрезок между основаниями двух высот равен меньшему основанию трапеции.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: вычли высоту только один раз. У равнобедренной трапеции по краям большего основания два равных выступа.

Тип 8 из 32

Условие

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 8 и углом 45° при большем основании.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x=\dfrac{8-4}{2}=2$

После проведения двух высот от большего основания остаются два равных крайних отрезка.

$h=x\operatorname{tg}45^\circ=2$

В прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны, поэтому высота равна проекции.

$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$

$S=\dfrac{8+4}{2}\cdot2=12$

Умножаем полусумму оснований на найденную высоту.

Ответ 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: взяли разность оснований 8 − 4 за высоту. Разность распределяется поровну между двумя боковыми проекциями.

Тип 9 из 32

Условие

Основания трапеции равны 6 и 14, а высота равна 8. Найдите площадь этой трапеции.

Трапеция с проведённой к нижнему основанию высотой и отметкой прямого угла.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$

a и b — параллельные основания трапеции, h — расстояние между ними.

$\dfrac{6+14}{2}=10$

Среднее арифметическое длин оснований равно 10.

$S=10\cdot8=80$

Умножаем полусумму оснований на высоту 8.

Ответ 80

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: умножили сумму оснований на высоту и забыли разделить на 2.

Тип 10 из 32

Условие

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 8 и 17. Найдите длину основания $BC$.

Равнобедренная трапеция ABCD; из C опущена высота на большее основание AD.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$CH\perp AD,\quad AH=17,\quad HD=8$

Пусть H — основание высоты из C. AH состоит из BC и одной боковой проекции, поэтому это больший из двух данных отрезков.

$AH=BC+HD$

Если опустить высоту и из B, слева останется такой же отрезок, как HD. Между высотами расположен отрезок длины BC.

$BC=AH-HD=17-8=9$

Вычитаем меньший отрезок из большего.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: сложили 8 и 17 и нашли AD вместо BC. Для меньшего основания нужна их разность.

Тип 11 из 32

Условие

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $156^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.

Ромб ABCD с диагональю AC; искомый угол образуют AC и CD.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle BCD=180^\circ-156^\circ=24^\circ$

Ромб — параллелограмм, поэтому соседние углы B и C дополняют друг друга до 180°.

$\angle ACD=\dfrac{\angle BCD}{2}$

Диагональ ромба AC является биссектрисой угла C.

$\angle ACD=\dfrac{24^\circ}{2}=12^\circ$

В ответ записываем половину угла C.

Ответ 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: разделили угол B = 156° пополам. Искомый угол ACD находится при вершине C.

Тип 12 из 32

Условие

Периметр ромба равен 88, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

Ромб без обозначений; периметр и величина угла заданы текстом.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a=\dfrac P4=\dfrac{88}{4}=22$

У ромба четыре равные стороны.

$S=a^2\sin\alpha$

$\sin30^\circ=\dfrac12$

Это площадь параллелограмма по двум соседним сторонам и синусу угла между ними. У ромба обе стороны равны a.

$S=22^2\cdot\dfrac12=242$

Сначала возводим сторону в квадрат, затем умножаем на синус.

Ответ 242

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: подставили в формулу периметр вместо стороны или забыли, что sin 30° = 1/2.

Тип 13 из 32

Условие

Сторона ромба равна 46, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.

Ромб с высотой к нижней стороне; в основании высоты отмечен прямой угол.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\alpha=180^\circ-150^\circ=30^\circ$

Высота образует прямоугольный треугольник с боковой стороной 46 и острым углом 30°.

$h=a\sin\alpha$

Высота — катет напротив угла α, а сторона ромба — гипотенуза.

$h=46\cdot\sin30^\circ=46\cdot\dfrac12=23$

Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.

Ответ 23

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: использовали угол 150° как острый угол прямоугольного треугольника или неверно вычислили его синус. Соседний острый угол равен 30°.

Тип 14 из 32

Условие

Сторона квадрата равна $9\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$d^2=a^2+a^2=2a^2$

Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с двумя катетами a.

$d=a\sqrt2$

Берём положительный корень, поскольку длины положительны.

$d=9\sqrt2\cdot\sqrt2=18$

Произведение √2 · √2 равно 2.

Ответ 18

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: удвоили сторону вместо умножения на √2 или посчитали √2 · √2 равным √4 без дальнейшего упрощения.

Тип 15 из 32

Условие

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO=37$, $AB=56$. Найдите $AC$.

Прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$BD=2BO=2\cdot37=74$

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

$AC=BD$

У прямоугольника диагонали равны. У произвольного параллелограмма это свойство может не выполняться.

$AC=74$

Сторона AB = 56 не требуется для вычисления.

Ответ 74

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: записали 37 как всю диагональ или стали применять теорему Пифагора к стороне AB. Достаточно свойств диагоналей.

Тип 16 из 32

Условие

Диагональ прямоугольника образует угол $86^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Прямоугольник с двумя пересекающимися диагоналями.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\alpha=90^\circ-86^\circ=4^\circ$

Соседние стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому углы диагонали с ними дополняют друг друга до 90°.

$\varphi=2\alpha$

Диагонали симметричны относительно прямой через центр, параллельной стороне. Каждая отклоняется от неё на 4° в свою сторону.

$\varphi=2\cdot4^\circ=8^\circ$

Второй угол при пересечении диагоналей равен 172°, но он тупой.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: удвоили 86° и записали тупой угол 172°. Требуется острый угол между диагоналями.

Тип 17 из 32

Условие

Один из углов равнобедренной трапеции равен $131^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Равнобедренная трапеция без буквенных обозначений.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\alpha+\beta=180^\circ$

Углы при концах одной боковой стороны являются внутренними односторонними при параллельных основаниях.

$\beta=180^\circ-131^\circ=49^\circ$

У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому углы принимают только два значения.

$49^\circ<131^\circ$

Искомый меньший угол равен 49°.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приняли 131° за меньший угол или разделили его на 2. Нужно найти соседний угол.

Тип 18 из 32

Условие

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $352^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Равнобедренная трапеция; сумма двух углов задана в условии.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$2\beta=352^\circ$

Пара разных по величине углов равнобедренной трапеции даёт 180°. Значит, 352° — сумма двух равных углов при одном основании.

$\beta=\dfrac{352^\circ}{2}=176^\circ$

Оба угла этой пары тупые.

$\alpha=180^\circ-176^\circ=4^\circ$

Соседний острый угол дополняет тупой до 180°.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: разделили 352° пополам и закончили решение. Полученные 176° — большие углы, а нужен меньший.

Тип 19 из 32

Условие

Один из углов прямоугольной трапеции равен $139^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Прямоугольная трапеция с отметкой прямого угла у левого нижнего основания.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$90^\circ+90^\circ+139^\circ+\alpha=360^\circ$

В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна обоим основаниям.

$\alpha=180^\circ-139^\circ=41^\circ$

На два непрямых угла остаётся 180°.

$41^\circ<90^\circ<139^\circ$

Меньший из четырёх углов равен 41°.

Ответ 41

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: выбрали прямой угол 90°. После вычисления четвёртого угла нужно сравнить все значения.

Тип 20 из 32

Условие

Основания трапеции равны 16 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Трапеция со средней линией и диагональю, пересекающей эту линию.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x=\dfrac a2,\quad y=\dfrac b2$

Диагональ делит трапецию на два треугольника. Части средней линии — их средние линии: каждая проходит через середину боковой стороны параллельно основанию.

$x=\dfrac{16}{2}=8$

$y=\dfrac{17}{2}=8{,}5$

Каждый отрезок равен половине соответствующего основания.

$8{,}5>8$

В ответ записываем больший отрезок: 8,5.

Ответ 8,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: нашли всю среднюю линию или разделили её пополам. Диагональ обычно делит среднюю линию на неравные части.

Тип 21 из 32

Условие

Основания трапеции равны 7 и 21, а высота равна 6. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Трапеция с проведёнными средней линией и высотой.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$m=\dfrac{a+b}{2}$

Средняя линия соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям.

$a+b=7+21=28$

Для длины средней линии используем только основания 7 и 21.

$m=\dfrac{28}{2}=14$

Высота 6 пригодилась бы для площади, но здесь она не нужна.

Ответ 14

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: умножили полусумму оснований на высоту и нашли площадь вместо средней линии.

Тип 22 из 32

Условие

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 10.

Равнобедренная трапеция с диагональю; между диагональю и большим основанием отмечен угол 45°.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x=\dfrac{10-3}{2}=3{,}5$

Опустим высоту из конца диагонали на большее основание. Крайний отрезок основания равен половине разности оснований.

$l=10-x=10-3{,}5=6{,}5$

От начала диагонали до основания высоты остаётся 6,5. Это также полусумма оснований (10 + 3)/2.

$h=l\operatorname{tg}45^\circ=6{,}5$

В образовавшемся прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны.

Ответ 6,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: использовали полуразность оснований. Она даёт проекцию боковой стороны, а здесь угол задан для диагонали.

Тип 23 из 32

Условие

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

Равнобедренная трапеция с высотой из правого конца меньшего основания к большему основанию.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a=2+8=10$

Высота разбивает большее основание на два данных отрезка.

$x=2$

У равнобедренной трапеции проекции боковых сторон равны. Меньший данный отрезок — одна из этих проекций.

$b=a-2x=10-4=6$

Можно сразу вычесть данные отрезки: b = 8 − 2 = 6.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: сложили 2 и 8 и получили большее основание. Для меньшего основания нужно вычитание.

Тип 24 из 32

Условие

Острый угол ромба равен $36^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

Ромб с меньшей горизонтальной диагональю; отмечены острый угол ромба и угол диагонали со стороной.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\beta=180^\circ-36^\circ=144^\circ$

Соседние углы ромба дополняют друг друга до 180°.

$\varphi=\dfrac\beta2$

Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов. Как любая диагональ ромба, она является биссектрисой этих углов.

$\varphi=\dfrac{144^\circ}{2}=72^\circ$

Искомый угол равен половине тупого угла.

Ответ 72

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: разделили острый угол 36° пополам. Это угол с большей диагональю; меньшая диагональ делит тупой угол.

Тип 25 из 32

Условие

Один из углов ромба равен $142^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Ромб с большей вертикальной диагональю и высотой к боковой стороне; у основания высоты отмечен прямой угол.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\alpha=180^\circ-142^\circ=38^\circ$

Большая диагональ соединяет вершины острых углов ромба.

$\beta=\dfrac{38^\circ}{2}=19^\circ$

Диагональ ромба делит угол при своей вершине на две равные части.

$\varphi=90^\circ-19^\circ=71^\circ$

Высота перпендикулярна стороне, поэтому её острый угол с диагональю дополняет 19° до 90°.

Ответ 71

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: разделили 142° пополам без объяснения или приняли половину острого угла за ответ. Нужно учесть перпендикулярность высоты стороне.

Тип 26 из 32

Условие

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $40^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Ромб с двумя диагоналями и перпендикуляром из их пересечения к стороне; отмечен угол между перпендикуляром и диагональю.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\beta=90^\circ-40^\circ=50^\circ$

Перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к стороне образует прямоугольный треугольник. Его другой острый угол равен 50°.

$2\beta=2\cdot50^\circ=100^\circ$

Угол стороны с диагональю — половина угла ромба, поскольку диагонали являются биссектрисами.

$\alpha=180^\circ-100^\circ=80^\circ$

Из двух углов ромба 100° и 80° выбираем острый.

Ответ 80

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: ответили 40° или 50°. Диагональ делит угол ромба пополам, поэтому угол при вершине нужно восстановить.

Тип 27 из 32

Условие

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 20, а $\operatorname{tg} \angle BCA = 0{,}7$. Найдите площадь ромба.

Ромб ABCD с горизонтальной диагональю AC; B сверху, D снизу.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$CO=\dfrac{AC}{2}=10$

$BO\perp CO$

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.

$\operatorname{tg}\angle BCA=\dfrac{BO}{CO}$

$BO=10\cdot0{,}7=7$

Луч CO совпадает с CA. Тангенс данного угла равен отношению катетов BO и CO.

$BD=2BO=14$

Удваиваем найденную половину диагонали.

$S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}$

$S=\dfrac{20\cdot14}{2}=140$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Ответ 140

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: подставили всю диагональ AC в отношение катетов. В прямоугольном треугольнике участвует CO = AC/2.

Тип 28 из 32

Условие

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $83^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $37^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Равнобедренная трапеция ABCD с диагональю AC; боковые стороны AB и CD отмечены одинаковыми штрихами.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle BAD=\angle D=83^\circ$

У равнобедренной трапеции углы при большем основании AD равны.

$\angle CAD=83^\circ-37^\circ=46^\circ$

Из всего угла BAD вычитаем угол BAC между боковой стороной AB и диагональю.

$\angle ACB=\angle CAD=46^\circ$

BC параллельно AD, поэтому накрест лежащие углы при секущей AC равны.

Ответ 46

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: вычли 37° из угла C или сложили 83° и 37°. Диагональ AC делит угол A на две части.

Тип 29 из 32

Условие

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $18^\circ$ и $58^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Равнобедренная трапеция с диагональю; отмечены её углы с обеими боковыми сторонами и угол при большем основании.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle A=\angle D=x$

$\angle BAC=18^\circ,\quad\angle ACD=58^\circ$

Назовём нижние вершины A и D, верхние B и C, диагональ — AC. Меньший из данных углов находится между AC и AB: угол ACD больше его на 180° − 2x, поскольку x острый.

$\angle CAD=x-18^\circ$

Диагональ AC делит угол A на BAC и CAD.

$(x-18^\circ)+58^\circ+x=180^\circ$

$2x=140^\circ$

Угол при D равен x, так как трапеция равнобедренная.

$x=70^\circ$

Проверка: углы треугольника ACD равны 52°, 58° и 70°, их сумма — 180°.

Ответ 70

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: сложили 18° и 58° и приняли сумму за угол при основании. Нужно учесть, что диагональ делит один из равных углов на части.

Тип 30 из 32

Условие

В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $62^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

Равнобедренная трапеция ABCD с диагональю AC; у A отмечены две равные части угла BAD.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle BAD=\angle D=62^\circ$

У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.

$\angle CAD=\dfrac{62^\circ}{2}=31^\circ$

Луч AC делит угол BAD на два равных угла.

$\angle ACD=180^\circ-62^\circ-31^\circ$

$\angle ACD=87^\circ$

Из суммы углов треугольника вычитаем углы при A и D.

Ответ 87

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приняли ACD за половину угла C. Диагональ дана биссектрисой угла A, а не C.

Тип 31 из 32

Условие

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $67^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $72^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC и диагональю AC.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle BCD=180^\circ-67^\circ=113^\circ$

Основания BC и AD параллельны, поэтому углы C и D при боковой стороне CD в сумме дают 180°.

$\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD$

Искомый угол между диагональю и меньшим основанием — BCA.

$\angle BCA=113^\circ-72^\circ=41^\circ$

Вычитаем известную часть угла C.

Ответ 41

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: вычли 72° из 67°. Угол ACD является частью угла C, поэтому сначала нужно найти весь угол C.

Тип 32 из 32

Условие

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Параллелограмм ABCD с диагональю AC; у вершины A подписаны углы 30° между AB и AC и 45° между AC и AD.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle BAD=30^\circ+45^\circ=75^\circ$

На рисунке диагональ AC делит угол BAD на углы BAC = 30° и CAD = 45°.

$\angle ABC=180^\circ-75^\circ=105^\circ$

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°.

$105^\circ>75^\circ$

Больший угол параллелограмма равен 105°.

Ответ 105

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: записали 75° после сложения 30° и 45°. Это меньший угол, а в условии требуется больший.

Частые ошибки в задании 17

Почти все потерянные баллы в номере 17 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.

Углы Перепутали равенство и сумму углов

Соседние углы параллелограмма приняли за равные или сложили углы не при одной боковой стороне трапеции.

У параллелограмма противоположные углы равны, соседние дают 180°. У трапеции углы при одной боковой стороне дают 180°; у равнобедренной углы при каждом основании равны.

Диагонали Использовали свойство другой фигуры

Решили, что диагонали любого параллелограмма равны или делят углы пополам.

У любого параллелограмма диагонали делятся пополам. У прямоугольника они дополнительно равны, а у ромба — перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

Основание и высота Взяли не то основание или его часть

Умножили высоту на наклонную сторону либо только на один отрезок основания, разделённого высотой.

Высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию. Если основание разбито на отрезки, сначала найди его полную длину.

Трапеция Перепутали полусумму и полуразность оснований

Для проекции боковой стороны использовали полусумму, а для проекции диагонали — полуразность.

В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны равна полуразности оснований, а проекция диагонали — их полусумме. Средняя линия любой трапеции тоже равна полусумме оснований.

Что найти Выбрали больший угол или высоту вместо меньшего

Правильно нашли одно значение, но не сравнили его со вторым или остановились на половине диагонали.

Перед записью ответа перечитай вопрос: меньший или больший угол, высота, целая диагональ или её часть. Если получены два значения, явно сравни их.

Вопросы про задание 17

Какие формулы площади нужны для задания 17?

Для параллелограмма S = ah или S = ab sin α. Для ромба S = ah, S = a² sin α или S = d₁d₂/2. Для трапеции S = (a + b)h/2, где a и b — основания. Для прямоугольника S = ab, для квадрата S = a². Высота h всегда относится к выбранному основанию.

Какими свойствами обладают диагонали четырёхугольников?

Диагонали любого параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. У прямоугольника они равны. У ромба они перпендикулярны и делят углы пополам. У квадрата выполняются все эти свойства. Для произвольной трапеции они не действуют, хотя у равнобедренной трапеции диагонали равны.

Как найти высоту равнобедренной трапеции?

Опусти высоты из концов меньшего основания. Боковые проекции на большее основание равны (a − b)/2. Если угол боковой стороны с основанием равен 45°, высота равна такой проекции. Если 45° образует диагональ, высота равна её проекции, то есть (a + b)/2.

Как диагональ делит среднюю линию трапеции?

На два отрезка, равных половинам оснований. В двух треугольниках, образованных диагональю, эти отрезки являются средними линиями. Поэтому больший отрезок равен половине большего основания; вся средняя линия равна полусумме оснований.

Можно ли определять длины и углы по внешнему виду рисунка?

Нет. Чертёж может быть выполнен не в масштабе. Используй числа, подписи и отметки прямых углов или равных отрезков, а также свойства фигуры из условия. Если высота делит основание на подписанные отрезки, найди полное основание сложением их длин.

Что записывать в ответ в задании 17?

Искомое число без единиц измерения и знака градуса. Например, угол 69° записываем как 69, а отрезок длиной 8,5 — как 8,5. Проверь, что выбран именно больший или меньший угол либо отрезок, о котором спрашивают.

Разбор задания 17 ОГЭ по математике

Тип 1 из 32

Тип 2 из 32

Тип 3 из 32

Тип 4 из 32

Тип 5 из 32

Тип 6 из 32

Тип 7 из 32

Тип 8 из 32

Тип 9 из 32

Тип 10 из 32

Тип 11 из 32

Тип 12 из 32

Тип 13 из 32

Тип 14 из 32

Тип 15 из 32

Тип 16 из 32

Тип 17 из 32

Тип 18 из 32

Тип 19 из 32

Тип 20 из 32

Тип 21 из 32

Тип 22 из 32

Тип 23 из 32

Тип 24 из 32

Тип 25 из 32

Тип 26 из 32

Тип 27 из 32

Тип 28 из 32

Тип 29 из 32

Тип 30 из 32

Тип 31 из 32

Тип 32 из 32

Частые ошибки в задании 17

Вопросы про задание 17

Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT проконтроллирует

Разборы других заданий ОГЭ по математике

Надоело читать разбор?