Разбор задания 16 ОГЭ по математике: 31 тип с решениями

Тип 1 из 31

Условие

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $48^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC вписан в окружность; центр отмечен на стороне AB, вершина C лежит на окружности.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$AB=2R$

A и B лежат на окружности, а её центр — на отрезке AB. Значит, AB является диаметром.

$\angle ACB=90^\circ$

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

$\angle ABC=90^\circ-48^\circ=42^\circ$

Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°. В ответ записываем 42.

Ответ 42

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: решали как произвольный треугольник и не использовали положение центра. Сторона через центр окружности — диаметр.

Тип 2 из 31

Условие

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $25$. Найдите $AC$, если $BC=48$.

Окружность с вписанным треугольником ABC; AB проходит через центр окружности.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$AB=2R=2\cdot25=50$

AB проходит через центр окружности, значит, это диаметр. Угол ACB, опирающийся на него, прямой.

$AC^2=AB^2-BC^2$

$AC^2=50^2-48^2=196$

Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета.

$AC=\sqrt{196}=14$

Берём положительный корень, поскольку длина стороны положительна. Проверка: 14² + 48² = 50².

Ответ 14

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приняли радиус 25 за гипотенузу. Гипотенуза AB — диаметр, поэтому она равна 50.

Тип 3 из 31

Условие

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $50^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O; AC и BD — пересекающиеся диаметры, проведена хорда BC.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle AOB=180^\circ-50^\circ=130^\circ$

BD — диаметр, поэтому OB и OD — противоположные лучи. Углы AOB и AOD смежные.

$\angle ACB=\dfrac{\angle AOB}{2}$

Вписанный угол ACB и центральный угол AOB опираются на одну дугу AB, не содержащую C.

$\angle ACB=\dfrac{130^\circ}{2}=65^\circ$

Делим на 2 именно угол 130°, соответствующий нужной дуге.

Ответ 65

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: разделили AOD пополам. Угол ACB опирается на дугу AB, поэтому ему соответствует центральный угол AOB.

Тип 4 из 31

Условие

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $16^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O и диаметрами AC и BD; хорда BC образует угол ACB.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle AOB=2\angle ACB$

$\angle AOB=2\cdot16^\circ=32^\circ$

Центральный угол на той же дуге вдвое больше вписанного.

$\angle AOB+\angle AOD=180^\circ$

Лучи OB и OD противоположны, поэтому два центральных угла смежные.

$\angle AOD=180^\circ-32^\circ=148^\circ$

Не забываем второй шаг после удвоения вписанного угла.

Ответ 148

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: записали 32° — угол AOB. Спрашивают смежный с ним угол AOD.

Тип 5 из 31

Условие

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $153^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Вписанный треугольник ABC и радиусы OA, OB; точки O и C находятся по одну сторону хорды AB.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle AOB=153^\circ$

Центр O и вершина C лежат по одну сторону хорды AB. Дуга AB, не содержащая C, — меньшая, её мера равна 153°.

$\angle ACB=\dfrac{\angle AOB}{2}$

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

$\angle ACB=\dfrac{153^\circ}{2}=76{,}5^\circ$

В ответ записываем десятичное число 76,5 без знака градуса.

Ответ 76,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: взяли дугу 360° − 153°. Точки O и C по одну сторону AB: угол ACB опирается на меньшую дугу AB.

Тип 6 из 31

Условие

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $134^\circ$, угол $CAD$ равен $81^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность; проведены диагонали AC и BD.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle CBD=\angle CAD=81^\circ$

Вершины A и B находятся на одной дуге CD, а оба угла опираются на другую дугу CD.

$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$

Диагональ BD лежит внутри угла ABC. Углы DBC и CBD — один и тот же угол.

$\angle ABD=134^\circ-81^\circ=53^\circ$

Вычитаем известную часть 81° из всего угла 134°.

Ответ 53

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: сравнивали углы, опирающиеся на разные дуги. У CAD и CBD общие концы дуги — C и D.

Тип 7 из 31

Условие

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $16^\circ$, угол $CAD$ равен $32^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

Вписанный четырёхугольник ABCD с диагоналями AC и BD; BD проходит внутри угла ABC.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle DBC=\angle CAD=32^\circ$

Вписанные углы DBC и CAD опираются на одну дугу CD и равны.

$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

$\angle ABC=16^\circ+32^\circ=48^\circ$

Получаем весь угол при вершине B.

Ответ 48

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: вычли 32° из 16°. Углы ABD и DBC — две части искомого угла, поэтому их нужно сложить.

Тип 8 из 31

Условие

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $108^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Трапеция ABCD вписана в окружность; основания AD и BC параллельны.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$AD\parallel BC$

По условию AD и BC — основания трапеции. AB пересекает обе параллельные прямые.

$\angle A+\angle B=180^\circ$

Внутренние односторонние углы при параллельных основаниях в сумме дают 180°.

$\angle B=180^\circ-108^\circ=72^\circ$

Для этой пары углов достаточно свойства параллельных оснований.

Ответ 72

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приравняли углы A и B. Они прилегают к одной боковой стороне, поэтому их сумма равна 180°.

Тип 9 из 31

Условие

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $111^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC; все четыре вершины лежат на окружности.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle A+\angle C=180^\circ$

У любого вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°.

$\angle C=180^\circ-\angle A$

Применяем это свойство к вписанной трапеции ABCD.

$\angle C=180^\circ-111^\circ=69^\circ$

Проверка: 111 + 69 = 180.

Ответ 69

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приравняли A и C как углы при основании. A и C — противоположные вершины вписанного четырёхугольника.

Тип 10 из 31

Условие

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что угол $NBA$ равен $71^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

Окружность с диаметром AB; точки N и M находятся по разные стороны диаметра, проведены BN, BM и MN.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle ANB=90^\circ$

AB — диаметр, значит, вписанный угол ANB прямой. Мысленно проведём хорду AN.

$\angle NAB=90^\circ-71^\circ=19^\circ$

В прямоугольном треугольнике ANB два острых угла в сумме дают 90°.

$\angle NMB=\angle NAB=19^\circ$

A и M лежат на одной дуге NB. Поэтому углы NAB и NMB опираются на одну и ту же другую дугу NB и равны.

Ответ 19

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: сравнивали NMB с NBA: эти углы опираются на разные дуги. Нужный угол на дуге NB — NAB.

Тип 11 из 31

Условие

Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Равносторонний треугольник, все вершины которого лежат на окружности.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$h=\dfrac{a\sqrt3}{2},\quad R=\dfrac{2h}{3}$

В равностороннем треугольнике центр лежит на медиане и делит её в отношении 2 : 1 от вершины. Медиана также является высотой h.

$R=\dfrac{a\sqrt3}{3}=\dfrac{a}{\sqrt3}$

Радиус описанной окружности идёт от центра до вершины.

$R=\dfrac{14\sqrt3}{\sqrt3}=14$

Сокращаем одинаковый множитель √3 в числителе и знаменателе.

Ответ 14

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: применили формулу вписанного радиуса r = a / (2√3). Описанный радиус R вдвое больше вписанного.

Тип 12 из 31

Условие

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $3\sqrt{5}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

Квадрат ABCD; O — середина CD и центр окружности, проходящей через A и B.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$AD=a,\quad OD=\dfrac a2$

$AO=3\sqrt5$

O — середина CD. Отрезок AO — радиус, поскольку окружность с центром O проходит через A.

$AO^2=AD^2+OD^2$

$45=a^2+\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{5a^2}{4}$

Угол ADO прямой: соседние стороны квадрата перпендикулярны.

$a^2=45\cdot\dfrac45=36$

$S=a^2=36$

Площадь — квадрат стороны. Саму сторону отдельно находить не обязательно.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приняли O за центр квадрата. По условию O — середина стороны CD, поэтому OD = a/2, а AD = a.

Тип 13 из 31

Условие

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $112^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность; A и C — противоположные вершины.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle A+\angle C=180^\circ$

Все вершины ABCD лежат на окружности. Поэтому его противоположные углы дополняют друг друга до 180°.

$\angle C=180^\circ-\angle A$

Углы A и C расположены в противоположных вершинах.

$\angle C=180^\circ-112^\circ=68^\circ$

Проверка: 112 + 68 = 180.

Ответ 68

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: вычли угол из 360°. Сумма всех четырёх углов равна 360°, а противоположной пары во вписанном четырёхугольнике — 180°.

Тип 14 из 31

Условие

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=20$, $BC=21$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катетами AC и BC и гипотенузой AB.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\angle C=90^\circ$

$AB^2=AC^2+BC^2$

AB лежит напротив прямого угла C и является гипотенузой.

$AB=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29$

По теореме Пифагора складываем квадраты катетов и извлекаем положительный корень.

$R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{29}{2}=14{,}5$

Центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому её половина равна радиусу.

Ответ 14,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: взяли половину одного из катетов. Диаметр описанной окружности равен гипотенузе, а не катету.

Тип 15 из 31

Условие

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $18\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

Квадрат с вписанной окружностью; проведена диагональ квадрата.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a=2r=2\cdot18\sqrt2=36\sqrt2$

Вписанная окружность касается противоположных сторон квадрата. Расстояние между ними равно диаметру.

$d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2$

Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с двумя катетами a.

$d=36\sqrt2\cdot\sqrt2=72$

Произведение √2 · √2 равно 2.

Ответ 72

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приравняли диагональ к диаметру вписанной окружности. Диаметр здесь равен стороне квадрата.

Тип 16 из 31

Условие

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса $25$.

Квадрат описан около окружности, касающейся всех четырёх сторон; центр окружности отмечен точкой.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a=2r$

Квадрат описан около окружности: его стороны касаются окружности. Диаметр равен расстоянию между противоположными сторонами.

$a=2\cdot25=50$

Находим полную сторону квадрата, а не половину.

$S=a^2=50^2=2500$

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

Ответ 2500

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: возвели в квадрат радиус 25. Сторона квадрата равна 2r = 50.

Тип 17 из 31

Условие

Сторона квадрата равна $46$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Квадрат с окружностью внутри, касающейся его четырёх сторон.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$2r=a$

Окружность касается двух противоположных сторон квадрата, расстояние между которыми равно a.

$r=\dfrac a2$

Радиус составляет половину диаметра.

$r=\dfrac{46}{2}=23$

Вписанный радиус равен 23.

Ответ 23

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: использовали диагональ квадрата. Для вписанной окружности нужен диаметр, равный стороне.

Тип 18 из 31

Условие

Сторона квадрата равна $24\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Квадрат вписан в окружность; его четыре вершины лежат на ней, центр отмечен точкой.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$d=a\sqrt2=24\sqrt2\cdot\sqrt2=48$

Диагональ квадрата соединяет противоположные вершины и проходит через центр описанной окружности.

$d=2R,\quad R=\dfrac d2$

Обе конечные точки диагонали лежат на окружности, значит, диагональ является диаметром.

$R=\dfrac{48}{2}=24$

Радиус описанной окружности равен 24.

Ответ 24

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: взяли половину стороны и получили вписанный радиус. У описанной окружности диаметр — диагональ квадрата.

Тип 19 из 31

Условие

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $32\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

Квадрат, вписанный в окружность с отмеченным центром.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$d=2R=64\sqrt2$

Диагональ проходит через центр окружности и соединяет две её точки, поэтому равна диаметру.

$d=a\sqrt2,\quad a=\dfrac d{\sqrt2}$

Связь стороны и диагонали следует из теоремы Пифагора.

$a=\dfrac{64\sqrt2}{\sqrt2}=64$

Сокращаем общий множитель √2.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приравняли сторону к диаметру. Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата.

Тип 20 из 31

Условие

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен $28$. Найдите высоту этой трапеции.

Прямоугольная трапеция с окружностью, касающейся обоих оснований и боковых сторон.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$h=r+r$

Высота трапеции — расстояние между параллельными основаниями. Центр вписанной окружности находится на расстоянии r от каждого из них.

$h=2r$

Два радиуса к точкам касания с основаниями перпендикулярны основаниям и вместе дают их расстояние.

$h=2\cdot28=56$

Высота трапеции равна 56.

Ответ 56

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приравняли высоту к радиусу. Между основаниями помещаются два радиуса, а не один.

Тип 21 из 31

Условие

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $11\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

Равносторонний треугольник вписан в окружность: все три вершины лежат на ней.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$R=\dfrac a{\sqrt3}$

В равностороннем треугольнике описанный радиус составляет две трети высоты.

$a=R\sqrt3$

Умножаем обе части равенства на √3.

$a=11\sqrt3\cdot\sqrt3=33$

Произведение √3 · √3 равно 3.

Ответ 33

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: использовали формулу для вписанной окружности и получили лишний множитель 2. Здесь дан описанный радиус R.

Тип 22 из 31

Условие

Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Равносторонний треугольник с вписанной окружностью, касающейся всех трёх сторон.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$h=\dfrac{a\sqrt3}{2},\quad r=\dfrac h3$

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают. Расстояние от центра до стороны равно трети высоты.

$r=\dfrac{a\sqrt3}{6}=\dfrac a{2\sqrt3}$

Это формула вписанного радиуса, который обозначаем строчной буквой r.

$r=\dfrac{20\sqrt3}{2\sqrt3}=10$

Сокращаем √3 и делим 20 на 2.

Ответ 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: нашли описанный радиус a / √3. Вписанный радиус вдвое меньше.

Тип 23 из 31

Условие

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $11\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

Равносторонний треугольник описан около окружности, касающейся каждой стороны.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$r=\dfrac a{2\sqrt3}$

Радиус вписанной окружности — расстояние от центра до стороны треугольника.

$a=2r\sqrt3$

Умножаем обе части формулы на 2√3.

$a=2\cdot11\sqrt3\cdot\sqrt3=66$

Учитываем √3 · √3 = 3: получаем 2 · 11 · 3 = 66.

Ответ 66

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: умножили радиус только на √3. Для вписанного радиуса дополнительно нужен множитель 2.

Тип 24 из 31

Условие

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $135^\circ$, $AB=14\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Треугольник ABC вписан в окружность; C лежит на меньшей дуге AB, угол C тупой.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{AB}{\sin C}=2R$

$R=\dfrac{AB}{2\sin C}$

Сторона AB лежит напротив угла C. Теорема синусов работает и для тупоугольного треугольника.

$\sin135^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$

Синусы дополнительных до 180° углов равны. Синус 135° положителен.

$2\sin135^\circ=\sqrt2$

$R=\dfrac{14\sqrt2}{\sqrt2}=14$

Подставляем сторону и значение синуса, затем сокращаем √2.

Ответ 14

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: использовали AB = 2R, хотя угол C не прямой, или забыли множитель 2 в теореме синусов.

Тип 25 из 31

Условие

В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $4\sqrt{3}$. Найдите сторону треугольника.

Равносторонний треугольник вписан в окружность; из центра O опущен перпендикуляр к нижней стороне.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$r=4\sqrt3$

У равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Перпендикуляр от O к стороне равен вписанному радиусу.

$r=\dfrac a{2\sqrt3},\quad a=2r\sqrt3$

Для вычисления используем формулу именно вписанного радиуса.

$a=2\cdot4\sqrt3\cdot\sqrt3=24$

Расстояние до стороны даёт сторону треугольника 24.

Ответ 24

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приняли расстояние до стороны за описанный радиус R. Описанный радиус идёт к вершине, а расстояние до стороны равно r.

Тип 26 из 31

Условие

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\dfrac{15}{17}$. Диаметр описанной около него окружности равен 17. Найдите площадь прямоугольника.

Прямоугольник вписан в окружность; проведена диагональ из нижней левой вершины в верхнюю правую.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$d=17$

Диагональ прямоугольника проходит через центр описанной окружности и равна её диаметру. Она делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника.

$\sin\alpha=\dfrac b d=\dfrac{15}{17}$

$b=17\cdot\dfrac{15}{17}=15$

Обозначим заданный угол α, а противолежащую ему сторону прямоугольника b.

$a=\sqrt{d^2-b^2}$

$a=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8$

Стороны прямоугольника — катеты, его диагональ — гипотенуза.

$S=ab=8\cdot15=120$

Площадь прямоугольника — произведение двух соседних сторон без деления на 2.

Ответ 120

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приняли диаметр за сторону или разделили произведение сторон на 2. Требуется площадь всего прямоугольника.

Тип 27 из 31

Условие

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AB=10\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Треугольник ABC вписан в окружность; сторона AB находится напротив угла C.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{AB}{\sin C}=2R$

$R=\dfrac{AB}{2\sin C}$

Выбираем сторону AB, лежащую напротив известного угла C.

$\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$

$2\sin60^\circ=\sqrt3$

Знаменатель формулы радиуса после умножения на 2 равен √3.

$R=\dfrac{10\sqrt3}{\sqrt3}=10$

Сокращаем общий множитель √3 и получаем 10.

Ответ 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: объявили треугольник равносторонним только по одному углу 60°. Достаточно общей теоремы синусов.

Тип 28 из 31

Условие

Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 40, а радиус вписанной в него окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника.

Треугольник с вписанной окружностью, касающейся всех трёх сторон.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$p=\dfrac P2=\dfrac{120}{2}=60$

Полупериметр — половина суммы трёх сторон. Отдельная сторона 40 для этой формулы не нужна.

$S=pr$

Центр вписанной окружности соединяет вершины в три треугольника с общей высотой r к сторонам. Сумма их площадей равна rP/2 = pr.

$S=60\cdot7=420$

В ответ записываем площадь 420.

Ответ 420

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: умножили радиус на полный периметр или на сторону 40. В формуле нужен полупериметр всего треугольника.

Тип 29 из 31

Условие

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=14$, $BC=13$, $CD=22$. Найдите $AD$.

Трапеция ABCD с параллельными основаниями AD и BC описана около окружности.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$AD+BC=AB+CD$

У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны. Это следует из равенства касательных из каждой вершины.

$AD=AB+CD-BC$

Вычитаем известное основание BC из суммы боковых сторон.

$AD=14+22-13=23$

Проверка: сумма оснований 23 + 13 = 36 равна сумме боковых сторон 14 + 22.

Ответ 23

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: применили свойство равнобедренной трапеции. Описанная около окружности трапеция не обязана иметь равные боковые стороны.

Тип 30 из 31

Условие

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна $48$, а $\operatorname{tg}\angle BCA=\dfrac{7}{24}$. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ромб ABCD с диагональю AC и вписанной окружностью; B сверху, D снизу, A и C — концы длинной диагонали.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$CO=\dfrac{AC}{2}=24$

$BO\perp CO$

Обозначим пересечение диагоналей O. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. O также является центром вписанной окружности.

$\operatorname{tg}\angle BCA=\dfrac{BO}{CO}$

$BO=24\cdot\dfrac7{24}=7$

$BD=2BO=14$

Луч CO совпадает с CA. Поэтому в прямоугольном треугольнике BCO тангенс данного угла равен BO / CO.

$BC=\sqrt{24^2+7^2}=25$

$p=\dfrac{4\cdot25}{2}=50$

Все четыре стороны ромба равны. Полупериметр равен двум сторонам.

$S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}$

$S=\dfrac{48\cdot14}{2}=336$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S=pr,\quad r=\dfrac Sp$

$r=\dfrac{336}{50}=6{,}72$

Формула S = pr верна для описанного около окружности ромба: четыре треугольника с вершиной O имеют высоты r к его сторонам.

Ответ 6,72

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: использовали всю диагональ AC вместо её половины или поделили площадь на полный периметр. Нужны CO = 24 и полупериметр p.

Тип 31 из 31

Условие

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=9$, $BC=13$, $CD=18$. Найдите $AD$.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, которая касается всех четырёх сторон.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$AB+CD=BC+AD$

Касательные из одной вершины к окружности равны. Складывая их отрезки, получаем равенство сумм противоположных сторон.

$AD=AB+CD-BC$

Стороны AB и CD образуют одну пару противоположных сторон, BC и AD — другую.

$AD=9+18-13=14$

Проверка: 9 + 18 = 13 + 14 = 27.

Ответ 14

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приравняли суммы соседних сторон или использовали свойство углов вписанного четырёхугольника. Здесь окружность касается сторон.

Частые ошибки в задании 16

Почти все потерянные баллы в номере 16 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.

Углы и дуги Сопоставили углы на разных дугах

Разделили любой центральный угол пополам или приравняли вписанные углы только потому, что они нарисованы в одной окружности.

Проверь концы дуги и положение вершин. Вписанный угол равен половине дуги, не содержащей его вершину. Равны вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Диаметр и радиус Потеряли множитель 2

Приняли радиус за гипотенузу вписанного прямоугольного треугольника или за диагональ вписанного квадрата.

Диаметр равен 2R. Он совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника и диагональю квадрата, вписанных в окружность.

Вписанная и описанная Перепутали два вида окружностей

Использовали формулу вписанного радиуса для описанной окружности или свойство углов вместо свойства сторон.

Вписанная окружность касается сторон; описанная проходит через вершины. У вписанного четырёхугольника противоположные углы дают 180°, у описанного равны суммы противоположных сторон.

Площадь и полупериметр Подставили полный периметр в S = pr

Умножили радиус на весь периметр и получили удвоенную площадь.

В формуле S = pr буква p обозначает полупериметр: p = P/2. Для ромба p = 2a, а не 4a.

Чертёж и длины Взяли всю диагональ вместо половины

В прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями ромба, использовали AC вместо CO.

Отметь точку пересечения диагоналей. В ромбе она делит обе диагонали пополам, а сами диагонали перпендикулярны. Числа бери из условия, а не измеряй на рисунке.

Вопросы про задание 16

Чем вписанная окружность отличается от описанной?

Вписанная окружность лежит внутри фигуры и касается её сторон; её радиус обозначают r. Описанная окружность проходит через вершины фигуры; её радиус обозначают R. Фигура, описанная около окружности, содержит эту окружность внутри.

Как связаны центральный и вписанный углы?

Центральный угол имеет вершину в центре окружности, вписанный — на окружности. Если они опираются на одну и ту же дугу, вписанный угол вдвое меньше центрального. Всегда выбирай дугу, не содержащую вершину вписанного угла.

Как распознать прямоугольный треугольник в окружности?

Если одна сторона вписанного треугольника проходит через центр, она является диаметром. Угол напротив неё равен 90°. И наоборот: гипотенуза вписанного прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности, поэтому R = c/2.

Какие формулы радиусов нужны для квадрата и равностороннего треугольника?

Для квадрата со стороной a: r = a/2 и R = a√2/2. Для равностороннего треугольника: r = a√3/6 и R = a√3/3, поэтому R = 2r. Для произвольного треугольника полезны S = pr и a / sin α = 2R, где α — угол напротив стороны a, p — полупериметр.

Чем отличаются свойства вписанного и описанного четырёхугольника?

Если четырёхугольник вписан в окружность, его противоположные углы в сумме равны 180°. Если он описан около окружности, суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Эти свойства отвечают на разные вопросы: об углах и о длинах.

Что записывать в ответ в задании 16?

Искомое число без единиц измерения и знака градуса. Например, угол 76,5° записываем как 76,5, а радиус 14 — как 14. Проверь, что найден именно радиус, диаметр, угол или площадь, которые спрашивают в условии.

Разбор задания 16 ОГЭ по математике

Тип 1 из 31

Тип 2 из 31

Тип 3 из 31

Тип 4 из 31

Тип 5 из 31

Тип 6 из 31

Тип 7 из 31

Тип 8 из 31

Тип 9 из 31

Тип 10 из 31

Тип 11 из 31

Тип 12 из 31

Тип 13 из 31

Тип 14 из 31

Тип 15 из 31

Тип 16 из 31

Тип 17 из 31

Тип 18 из 31

Тип 19 из 31

Тип 20 из 31

Тип 21 из 31

Тип 22 из 31

Тип 23 из 31

Тип 24 из 31

Тип 25 из 31

Тип 26 из 31

Тип 27 из 31

Тип 28 из 31

Тип 29 из 31

Тип 30 из 31

Тип 31 из 31

Частые ошибки в задании 16

Вопросы про задание 16

Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT проконтроллирует

Разборы других заданий ОГЭ по математике

Надоело читать разбор?