Разбор задания 24 ОГЭ по математике

Диагональ BD выделена — именно она связывает два треугольника, подобие которых нужно доказать.

Накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны — это единственное угловое равенство, которое здесь вообще есть, и его достаточно для признака подобия по двум сторонам и углу между ними.

В обоих отношениях диагональ BD стоит между сторонами BC и DA — то есть это как раз стороны, прилежащие к равному углу ∠DBC=∠BDA с обеих сторон.

Второй признак подобия: если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие эти углы, пропорциональны — треугольники подобны.

Засечки на DC и DM отмечают равные отрезки — это и есть ключевое наблюдение всей задачи.

Раз AD ровно вдвое больше CD, то половина AD в точности равна CD — не приблизительно, а точно.

В равнобедренном треугольнике углы при основании (стороне, соединяющей равные боковые стороны) всегда равны.

M лежит на AD, значит прямая MC — это секущая для двух параллельных прямых AD и BC.

∠DCM и ∠MCB — это как раз две половины угла BCD, на которые его делит луч CM.

M — это одна и та же точка на пересечении двух биссектрис, и она же лежит на стороне BC.

Свойство биссектрисы угла: каждая её точка равноудалена от обеих сторон этого угла. Здесь стороны угла A — это AB и AD.

То же свойство для угла D: его стороны — AD и DC.

Прямая AD — общее звено обеих пар, поэтому все три расстояния оказываются равны между собой.

Засечки на BK и KC отмечают то, что предстоит доказать — эти отрезки равны.

Против равных углов в треугольнике лежат равные стороны — это и даёт BK = AB.

Полностью симметричное рассуждение для угла D и стороны BC с другого конца.

BK и CK равны одной и той же паре равных сторон параллелограмма, значит равны и между собой — K делит BC пополам.

M лежит за пределами окружности — это точка пересечения продолжений сторон AB и DC, а не самих сторон.

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° — стандартное свойство окружности, описанной около четырёхугольника.

Смежные углы в сумме дают 180°, а значение 180°−∠ABC уже известно из свойства вписанного четырёхугольника — это как раз ∠ADC.

Раз M лежит на продолжениях обеих сторон, треугольники MBC и MDA имеют общую вершину M, и угол при ней у них буквально один и тот же.

Первый признак подобия: двух равных углов достаточно.

Треугольник ECD (пунктирные стороны EC, ED) — это не часть исходной фигуры, а вспомогательное построение для решения.

Это ключевой факт: для точки на середине отрезка, соединяющего две параллельные прямые, расстояния до этих прямых равны — по h/2 до каждой, независимо от угла наклона AB.

Основания этих треугольников — AD и BC, а высоты — как раз найденные в п. 2 половинки h.

Треугольник ECD — это то, что остаётся от трапеции после вычитания двух угловых треугольников AED и BEC.

(1/4)(AD+BC)h — это ровно половина от (1/2)(AD+BC)h.

Средняя линия (пунктир) — вспомогательное построение; K может быть любой точкой на ней, чертёж показывает случайное положение.

Средняя линия — это как раз множество точек, равноудалённых от обоих оснований на h/2; это не зависит от того, где на ней стоит K.

У обоих треугольников высота — одна и та же величина h/2, разные только основания BC и AD.

Сумма не зависит от того, в какой именно точке средней линии стоит K — только от длин оснований и высоты трапеции.

Получили ровно половину площади трапеции — что и требовалось.

Диагонали AC и BD выделены — вся задача построена на треугольниках, которые они образуют.

Раз AD целиком параллельна BC, любая точка на AD (в том числе A и D) находится на одном и том же расстоянии от прямой BC.

Диагональ AC делит △ABC на △AOB и △BOC, а диагональ BD делит △DBC на △DOC и △BOC — общая часть у обоих разбиений одна и та же.

Из равных сумм с одинаковым слагаемым S(BOC) следует равенство вторых слагаемых.

Окружность на чертеже — не часть условия, а результат первого шага решения; отмечена пунктиром как вспомогательное построение.

Это утверждение, обратное теореме о вписанном угле: если две точки по одну сторону от отрезка видят его под равными углами, они вместе с концами отрезка лежат на одной окружности.

Оба угла — вписанные в одну и ту же окружность, и у обоих одна и та же дуга DC (не содержащая точек A и B).

Величина вписанного угла зависит только от дуги, на которую он опирается, а не от того, из какой точки окружности его строят.

Засечками отмечены OB и OD — это свойство диагоналей параллелограмма, а не то, что нужно доказывать отдельно.

Это стандартное свойство параллелограмма: обе диагонали в точке пересечения делятся ровно пополам.

∠OBP — это угол между BO (частью диагонали BD) и BP (частью стороны AB), а ∠ODQ — между DO и DQ; AB∥CD делает их накрест лежащими при секущей BD.

Сторона OB (или OD) лежит между двумя углами, равенство которых уже показано, поэтому подходит признак равенства по стороне и двум прилежащим углам.

В равных треугольниках соответственные стороны равны — BP и DQ соответствуют друг другу по построенному соответствию B↔D, O↔O, P↔Q.

A₁ и B₁ — основания высот; отрезок A₁B₁ (выделен) — не сторона треугольника, а вспомогательное построение.

Точка, из которой отрезок виден под углом 90°, всегда лежит на окружности, построенной на этом отрезке как на диаметре — это следствие теоремы о вписанном угле, опирающемся на диаметр.

∠AA₁B₁ — угол при вершине A₁ между хордами A₁A и A₁B₁; ∠ABB₁ — угол при вершине B между хордами BA и BB₁. Обе вершины A₁ и B видят одну и ту же хорду AB₁.

Величина вписанного угла зависит только от дуги, на которую он опирается.

F — произвольная точка, отрезки FA, FB, FC, FD проведены как вспомогательное построение для решения.

Для любой точки между двумя параллельными прямыми сумма расстояний до этих прямых равна расстоянию между самими прямыми — это верно для любого положения F внутри параллелограмма.

AD и BC — противоположные стороны параллелограмма, поэтому их длины равны.

d₁+d₂ = h — эта сумма не зависит от выбора точки F, поэтому итоговое выражение тоже от неё не зависит.

Получили ровно половину площади параллелограмма — независимо от того, где именно внутри него выбрана точка F.

EC, ED, FC, FD — радиусы своих окружностей, отмечены пунктиром как вспомогательные отрезки.

Множество точек, равноудалённых от двух данных точек, — это в точности серединный перпендикуляр к отрезку между ними.

Тот же аргумент, применённый ко второй окружности.

Здесь и используется, что E и F — разные точки: без этого через них нельзя было бы провести единственную прямую.

Из-за тупого угла при A основания высот B₁ и C₁ лежат не на самих сторонах AC и AB, а на их продолжениях за точку A.

∠B₁AB и ∠C₁AC — вертикальные, потому что луч AB₁ противоположен лучу AC, а луч AC₁ противоположен лучу AB.

Это то же самое равенство, только записанное по-другому — сторона к стороне одного треугольника относится как соответственная сторона другого.

Угол между двумя лучами не меняется, если оба луча заменить на противоположные — поэтому ∠B₁AC₁ и ∠BAC равны.

Второй признак подобия: угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие эти углы, пропорциональны.

«Внутренняя» касательная — та, что пересекает отрезок IJ между центрами (в отличие от внешней, которая его не пересекает).

Это стандартное свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной в этой точке.

T лежит между I и J на отрезке IJ (касательная внутренняя), поэтому углы при T действительно вертикальные, а IJ действительно служит секущей для параллельных IP и JQ.

IP и JQ — это в точности радиусы первой и второй окружностей.

Умножение обеих частей отношения на одно и то же число (2) отношение не меняет.