Разбор задания 23 ОГЭ по математике

Отмечаем на чертеже ромб ABCD, высоту AH из вершины A на сторону CD и точку H между D и C.

DH и CH — это две части одной и той же стороны CD, значит их сумма и есть длина стороны. Все стороны ромба равны, поэтому AD = CD = 20.

Треугольник ADH прямоугольный, потому что AH — высота, то есть AH ⊥ CD, а значит и AH ⊥ DH.

Извлекаем квадратный корень — 144 раскладывается на точный квадрат.

Отмечаем прямой угол при C, катеты AC = 15 и BC = 36, и высоту CH, опущенную на гипотенузу AB.

Теорема Пифагора связывает катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника.

Площадь одна и та же величина — её можно посчитать любым верным способом, а потом приравнять результаты.

Половинки сокращаются сразу — переписывать их отдельно не обязательно.

Ответ можно оставить неправильной дробью — 180/13 не сокращается и не извлекается в конечную десятичную дробь.

Отмечаем параллелограмм ABCD, биссектрису AK из вершины A до точки K на стороне BC, и оба равных угла при A.

В треугольнике против равных углов лежат равные стороны, значит AB = BK.

BK и KC вместе составляют всю сторону BC.

В параллелограмме противоположные стороны попарно равны — этого достаточно, чтобы не искать AD и CD отдельно.

Отмечаем ромб ABCD с диагоналями AC и BD, точку O их пересечения и перпендикуляр OP к стороне AB.

O — середина диагонали AC.

Диагонали ромба перпендикулярны сторонам не всегда, а вот углу A — да: AC делит угол A на две равные части, одна из которых — ∠OAP.

AC — биссектриса угла A ромба, поэтому весь угол вдвое больше найденной половины. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, как у любого параллелограмма.

Отмечаем прямой угол при C, катет AC = 21, гипотенузу AB = 75 и высоту CH к гипотенузе.

Выражаем неизвестный катет из теоремы Пифагора.

CH — высота к гипотенузе AB, поэтому площадь через неё и площадь через катеты равны.

Проверка: высота к гипотенузе всегда меньше меньшего катета — 504/25 = 20,16 < 21, всё сходится.

Отмечаем треугольник ABC и отрезок MN, параллельный стороне AC, с точками M на AB и N на BC.

Параллельность MN и AC при секущих AB и BC даёт равенство соответственных углов.

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны — MN сходственна AC, BN сходственна BC.

BC раскладывается на BN и NC как на две части одной стороны.

Отмечаем параллельные отрезки AB и DC, отрезки AC и BD и точку их пересечения M.

Две пары равных углов достаточно для подобия по первому признаку.

AM сходственна AB, MC сходственна DC — обе стороны примыкают к вершинам с равными углами.

AM выражаем через MC из найденного отношения и подставляем в сумму отрезков AC.

Отмечаем трапецию ABCD, боковую сторону AB и биссектрисы углов A и B, пересекающиеся в точке F.

Углы A и B трапеции прилегают к одной боковой стороне и опираются на параллельные основания.

Сумма углов треугольника ABF равна 180°, а два из них уже дают 90° — третий обязан быть прямым.

AB — гипотенуза прямоугольного треугольника ABF, AF и BF — катеты.

Отмечаем прямой угол при B, высоту BH к гипотенузе AC и точку H с известным AH.

Оба треугольника содержат угол A и по прямому углу — этого достаточно для подобия.

AB — гипотенуза маленького треугольника ABH и одновременно катет большого треугольника ABC, поэтому она входит в отношение дважды.

Это стандартная формула «катет — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции».

Отмечаем трапецию ABCD с основаниями AD и BC, боковыми сторонами AB и CD и данными углами при B и C.

A и D лежат на одной прямой, параллельной BC, поэтому перпендикуляр из D до прямой BC — это и есть высота всей трапеции.

Тот же приём для другой боковой стороны: перпендикуляр из A до BC даёт ту же высоту h.

Домножили числитель и знаменатель на √3, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Отмечаем прямой угол при B, высоту BH, окружность на BH как на диаметре и точки её пересечения P и K со сторонами.

В четырёхугольнике BPHK уже есть три прямых угла — четвёртый обязан быть прямым, значит это прямоугольник.

BH соединяет вершины B и H, PK — вершины P и K, а в прямоугольнике BPHK это именно две диагонали.

Ответ следует напрямую из равенства диагоналей — вычислять больше нечего.

Отмечаем окружность, обе хорды и перпендикуляры от центра O к каждой из них — они делят хорды пополам.

Половина хорды, расстояние от центра до хорды и радиус — катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника.

Радиус — общий для обеих хорд, поэтому используем уже найденное значение R = 20.

Удваиваем половину хорды, полученную из теоремы Пифагора.

Отмечаем окружность, обе хорды и перпендикуляры от центра к каждой из них.

Прямоугольный треугольник: половина хорды, расстояние до неё и радиус.

Используем тот же радиус R = 25 для второй хорды.

Готово — оба шага используют одну и ту же формулу, только для разных хорд.

Отмечаем трапецию, отрезок EF, параллельный основаниям, и диагональ AC — она понадобится, чтобы разбить EF на две части.

GF — сходственная сторона AD в маленьком треугольнике CGF, коэффициент подобия — это отношение CF к целой стороне CD.

Точка G — та же самая, поэтому отношение AG к AC — это остаток от CG/CA, найденного на предыдущем шаге.

EF составлен из двух частей одной прямой, разделённой диагональю AC в точке G.

Тот же чертёж, что и в задаче с обратными данными: прямой угол при B, высота BH и окружность на ней как на диаметре.

Три прямых угла в четырёхугольнике BPHK делают его прямоугольником.

Доказательство то же самое, просто исходные данные и искомая величина поменялись местами.

Считать больше нечего — ответ следует из равенства диагоналей.

Отмечаем треугольник ABC, окружность через вершины B и C, точки K на AB и P на AC.

Внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине — стандартное свойство.

Порядок вершин важен: K соответствует C, P соответствует B — именно так совпадают равные углы.

AC сокращается — отношение AC к BC входит в ответ напрямую, без промежуточного вычисления самой стороны BC.

Отмечаем треугольник ABC, вписанный в окружность радиуса R с центром O, и данные углы при B и C.

Сумма углов любого треугольника равна 180°.

BC — сторона, лежащая против угла A, поэтому именно она связана с R через этот угол.

sin(30°) = 1/2 — табличное значение, вычисляется без калькулятора.

Отмечаем треугольник ABC, окружность с центром O на стороне AC и точку касания B на стороне AB.

T — точка на окружности, для которой CT — диаметр, поэтому она лежит на луче AC на расстоянии d от C, ближе к A.

Квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть — стандартная теорема о степени точки.

Подставили AT = AC − d = 9 − d и решили линейное уравнение относительно d.

Отмечаем треугольник ABC, окружность через вершины B и C, точки K на AB и P на AC — тот же чертёж, что и для похожей задачи с AK.

Доказательство то же, что и в похожей задаче — меняются только известные отрезки.

На этот раз используем сторону AP (сходственную AC — нет, сходственную AB, так как P соответствует B в этом подобии) вместо AK.

AB снова сокращается — важно только отношение AB к BC и известный отрезок AP.

Тот же чертёж, что и в похожей задаче: центр O на стороне AC, точка касания B на стороне AB.

То же рассуждение: AC проходит через центр, значит пересекает окружность в C и в точке T на расстоянии d от C.

Раскрыли скобки и перенесли всё в одну часть — получили квадратное уравнение относительно AC.

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому берём только положительный корень.