Разбор задания 25 ОГЭ по математике

P — точка пересечения продолжения биссектрисы DM с прямой BC; в условии она не упоминается, но нужна для решения.

Из равенства треугольников также следует, что M — середина DP, но для решения нужен только вывод BP=AD.

Против равных углов лежат равные стороны — здесь это PC и DC в треугольнике DPC.

PB=AD (из шага 2), PC=13 (из шага 3) — подставляем и находим основание AD.

p=0 означает, что сторона AB на самом деле перпендикулярна основаниям — это следствие чисел 12, 13, 4, а не отдельное допущение.

Подставляем найденное AD=9, данное BC=4 и найденную высоту h=12.

D — середина BC, поэтому BE (биссектриса угла ABC) бисектрисирует и угол ABD, ведь D лежит на луче BC.

Биссектриса угла B в треугольнике ABD, перпендикулярная противоположной стороне AD, обязана быть ещё и медианой — отсюда AF=FD.

F — середина AD, поэтому AF — ровно половина от данных 8.

E лежит на самой биссектрисе BE, поэтому его проекция на BE — это и есть расстояние BE от точки B.

Сумма квадратов синус- и косинус-составляющих даёт AB² по основному тригонометрическому тождеству.

BC−AB=AB и BC+AB=3AB — оба выражаются через уже найденные AB·cosβ=6 и AB·sinβ=4.

Вписанная окружность — часть условия задачи, а не наше дополнение к чертежу.

Это стандартный признак: в тангенциальном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

AD+BC=80 уже найдено на предыдущем шаге.

((AD−BC)/2) — это горизонтальный катет прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и разностью оснований у равнобедренной трапеции.

Высоты подобных треугольников OBC и ODA относятся так же, как их сходственные стороны BC и AD.

AK и BK выделены — на них строится всё решение.

Сумма углов треугольника ABK равна 180°, а два из них уже составляют 90°.

P — точка пересечения продолжения AK со стороной BC; она не дана в условии, но нужна для решения.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине между равными сторонами всегда совпадает с медианой и высотой к третьей стороне.

Это стандартное свойство середины отрезка: она делит расстояние до любой прямой пополам между расстояниями от концов отрезка.

H·AB — это и есть площадь параллелограмма (основание AB, высота H к нему).

AC — сторона треугольника ABC и одновременно диагональ параллелограмма; O — внутри треугольника ABC.

AD ∥ BC — противоположные стороны параллелограмма; O, будучи строго внутри треугольника ABC, лежит между этими двумя параллельными прямыми.

Касательная из вершины к вписанной окружности всегда равна s минус противоположная сторона — здесь противоположная стороне A сторона треугольника это BC.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами — через основание и высоту, и через радиус вписанной окружности и полупериметр; приравнивание даёт уравнение на BC.

BC=AD — сторона параллелограмма, H — высота к ней; их произведение и есть площадь.

AB и CD — хорды, соединяющие точки касания на каждой окружности; они выделены цветом. Пунктиром показаны радиусы O₁A и O₂C — они понадобятся в следующем шаге.

Эта формула получается из того, что проекции O₁A и O₂C на линию центров при переносе одного радиуса к другому дают катет r₂−r₁ в прямоугольном треугольнике с гипотенузой O₁O₂.

Отрицательный косинус означает, что угол между O₁A и направлением к O₂ тупой — хорда AB оказывается вне отрезка O₁O₂.

Знаки у двух окружностей отличаются, потому что формулу считаем каждый раз от «своего» центра к «чужому».

AB отстоит от O₁ на 3 в сторону, противоположную O₂ (то есть его расстояние от O₁ отрицательное, −3), а CD ближе к O₁, чем сам O₂, на 5 — поэтому пять вычитается, а не складывается.

Отрезки EC и ED (пунктир) — вспомогательные хорды окружности, на них строится всё решение. Высота трапеции (сторона AB) в условии не дана — и, как окажется, ответ от неё вообще не зависит.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту же хорду с другой стороны, — стандартная теорема о касательной и хорде.

В прямоугольном треугольнике EBC угол при вершине E равен θ (из шага 2), а BC — катет, противолежащий этому углу.

φ = ∠ECD и θ = ∠EDC — это в точности углы треугольника ECD при вершинах C и D (из шага 2).

Множители sinθ и sinφ при перемножении полностью сокращаются — поэтому ответ не зависит ни от угла наклона, ни от длины боковой стороны AB, только от оснований AD и BC.

M — не просто середина AD, а центр окружности, описанной около всего четырёхугольника, ведь она равноудалена от всех вершин. Диагонали AC и BD (выделены) — на них строится весь дальнейший угловой счёт.

Угол, из вершины которого виден диаметр окружности, всегда прямой — это теорема Фалеса (частный случай теоремы о вписанном угле).

Диагонали BD и AC делят углы B и C четырёхугольника на части — одна из которых уже известна (90°) из теоремы Фалеса.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается — отсюда переход от углов 26° и 4° к дугам 52° и 8°.

Длина хорды всегда равна удвоенному радиусу, умноженному на синус половины стягиваемой дуги.

Точка P — пересечение продолжений боковых сторон AB и DC; в условии не упоминается, но необходима для решения.

P лежит на продолжениях сторон AB и DC за точки B и C, поэтому углы при A и D в треугольнике APD — это в точности углы трапеции при основании AD.

Стандартный факт о трапеции: средняя линия равна полусумме оснований и параллельна им.

Гомотетия с центром P, переводящая меньший треугольник BPC в больший APD, обязательно переводит середину одного основания в середину другого — поэтому все три точки (P и обе середины) лежат на одной прямой.

Большее из двух данных чисел обязательно относится к сумме оснований, а не к разности — сумма всегда больше разности при положительных слагаемых.

Линия AO (к центру описанной окружности) показана пунктиром как вспомогательное построение.

Это стандартный факт о центре описанной окружности: угол между стороной и отрезком к центру равен 90° минус противолежащий угол треугольника.

F — точка пересечения BD с прямой AO; треугольник ABF прямоугольный по условию перпендикулярности.

Угол ABD, только что найденный, оказался равен углу ACB — это и даёт второй угол для признака подобия.

AB/AC = AD/AB — отношение сходственных сторон в правильном порядке: AB (в △ABD) соответствует AC (в △ACB), AD соответствует AB.

Окружность с диаметром BC показана пунктиром — она вспомогательная, полностью определяется стороной BC.

Так как AD⊥BC, прямая AD пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно D — поэтому произведение отрезков секущей равно DM², а не DM умножить на что-то другое.

Это классическое тождество для ортоцентра остроугольного треугольника: произведение отрезков одной высоты, на которые её делит основание другой (через точку D), равно произведению отрезков секущей через D для окружности с диаметром на противоположной стороне.

H лежит на отрезке AD между A и D (ортоцентр остроугольного треугольника — внутри треугольника), поэтому AH и DH в сумме дают AD.

Диагонали AC, BD выделены — весь угловой счёт связан именно с ними.

По теореме синусов хорда равна 2R, умноженному на синус любого вписанного угла, опирающегося на неё.

∠KAD и ∠ADB — это в точности углы α и β из предыдущего шага, просто выраженные через точку K вместо всей диагонали.

Система решается через формулу синуса суммы; после алгебраических преобразований (с учётом cosα, cosβ>0) уравнение сводится к квадратному относительно R².

700 = 100·7, поэтому корень извлекается как 10√7.

H — основание высоты из B, лежит на стороне AC; K — точка пересечения этой высоты с биссектрисой AK.

Это следует из того, что AK делит противолежащую сторону BH треугольника ABH в отношении прилежащих сторон AB:AH — классическое свойство биссектрисы, применённое к треугольнику ABH.

Получился классический прямоугольный треугольник со сторонами в отношении 3:4:5.

В прямоугольном треугольнике ABH синус угла A — это отношение противолежащего катета BH к гипотенузе AB.

Теорема синусов связывает любую сторону треугольника с синусом противолежащего угла и диаметром описанной окружности.

T — точка касания на луче AB; окружность (пунктир) не дана явно, но полностью определяется условием.

Прямая AC — секущая, пересекающая окружность в M и N; прямая AB (точнее, луч AB) — касательная, поэтому применима именно эта теорема.

Основное тригонометрическое тождество sin²+cos²=1.

Центр окружности лежит на перпендикуляре к касательной в точке касания — стандартное свойство касательной.

Раскрываем квадрат разности и сокращаем r² с обеих сторон — остаётся линейное уравнение относительно r.

Прямая CD совпадает с продолжением стороны DC до точки P — угол между продолжениями боковых сторон прямой, поэтому эта прямая перпендикулярна прямой PA (=AB).

P лежит за точками B и C (BC — меньшее основание, ближе к P).

Гомотетия с центром P переводит меньший треугольник BPC в больший APD с коэффициентом AD/BC=8, поэтому все длины от P до вершин связаны этим коэффициентом.

Прямая CD — это в точности прямая PD (D, C, P лежат на одной прямой, так как P — точка пересечения продолжения DC).

Поскольку A и B лежат на общем перпендикуляре к касательной прямой CD, задача сводится к стандартной системе: расстояние от искомого центра до A равно расстоянию до B равно радиусу.