Разбор задания 22 ОГЭ по математике

Три отдельные функции, у каждой график — прямая линия; отличаются только коэффициентами и промежутком, на котором заданы.

При x = 1 значения не совпадают (−1 и 2,5) — здесь разрыв. При x = 4 оба выражения дают −5 — здесь графики просто сшиваются в одну линию без разрыва.

По этим точкам проводим три отрезка/луча — вместе они и дают график функции.

Точка (1;−1) — выколотая, (1;2,5) и (4;−5) — закрашенные; в точке (4;−5) графики просто сшиваются без разрыва.

В положении 1 вторая точка приходит с первой прямой (левее выколотой точки). Между положениями 2 и 3 включительно вторая и третья прямые вместе дают ровно 2 точки, а первая уже не дотягивается.

Изолированная точка −5 и примыкающий к ней отдельно промежуток — оба случая дают ровно 2 точки.

Область определения второй функции: x ≠ 0, но она и так задана только при x < −2, так что это ограничение уже выполнено.

x₀ = −b/(2a) — формула абсциссы вершины параболы y=ax²+bx+c; чтобы найти y₀, подставляем x₀ обратно в саму функцию.

Если значения совпадают — графики сходятся в одну точку без разрыва; если нет — на стыке скачок, который часто даёт лишнюю (или недостающую) точку в ответе. Здесь оба значения равны 1 — разрыва нет.

Для параболы берём вершину и по паре точек с обеих сторон; для гиперболы на этом участке достаточно двух точек — она монотонно приближается к 0.

В точке (−2;1) обе функции сходятся — отмечаем одну закрашенную точку.

В положении 2, кроме самой точки стыка, парабола даёт ещё одну точку левее вершины — вместе получается 2. При 0 < m < 1 получаются лишние, третьи точки — такие m не подходят.

При m = 0 — 1 точка, при m = 1 — 2, при m > 1 — снова 1: все эти случаи подходят под «одна или две».

x² + 2 — это уже вершинная форма (x−0)²+2, вершину видно без дополнительных преобразований.

Коэффициент при x² положительный, поэтому вершина — минимум параболы (ветви вверх).

Значения разные (6 и 3) — здесь разрыв: точка (−2;6) закрашенная (входит в параболу), точка (−2;3) выколотая (предел гиперболы, сама точка не входит в её область).

Для параболы берём вершину и точки по обе стороны; для гиперболы — пару точек на видимом участке.

Точка (−2;6) закрашенная (входит в параболу), точка (−2;3) выколотая (предел гиперболы).

Между этими двумя значениями (от 2, минимума параболы, до 6) парабола сама по себе даёт 2 точки — там ответ не подходит; выше 6 и в промежутке (0;2) остаётся ровно одна.

Оба промежутка открытые — на границах 0, 2 и 6 число точек меняется.

Обе функции заданы на всей числовой прямой — область определения не ограничена.

x₀ = −b/(2a) — формула абсциссы вершины параболы y=ax²+bx+c; y₀ находим, подставив x₀ обратно в функцию.

Значения разные (4 и 2) — здесь скачок: точка (1;4) выколотая (предел прямой), точка (1;2) закрашенная (входит в параболу).

Для параболы берём вершину и точки по обе стороны от неё.

Парабола на своём участке сначала слегка спускается от 2 до 1 (вершина), потом растёт без ограничений.

В положении 1 вторая точка приходит с прямой (m=1 < 4, прямая ещё пересекается). Между положениями 2 и 3 (не включая 4) тоже получается ровно 2 точки — правое плечо параболы плюс прямая.

При m между 1 и 2 (включая 2) получается 3 точки — не подходит; при m ≥ 4 прямая уже не дотягивается.

Коэффициент при x² отрицательный (−1), поэтому у параболы ветви направлены вниз, а вершина — это максимум.

Коэффициент при x² отрицательный, поэтому вершина — максимум параболы (ветви вниз).

Значения разные (−2 и 1) — здесь скачок: точка (−3;1) выколотая (предел прямой), точка (−3;−2) закрашенная (входит в параболу).

Для параболы берём вершину и точки по обе стороны от неё.

После вершины парабола убывает без ограничений — это и даёт единственную точку при больших m.

Между положениями 1 и 2 (включая −2, не включая 1) парабола одна даёт 2 точки. В положении 3 вторая точка приходит с прямой (m=2>1, прямая ещё пересекается).

Между 1 и 2 (не включая) число точек равно 3 — не подходит.

Получили две отдельные квадратичные функции — по одной на каждый случай раскрытия модуля.

x₀ = −b/(2a) для каждой параболы отдельно; y₀ находим подстановкой x₀ обратно в соответствующую функцию.

Оба значения равны 0 — функции сходятся в одной точке (−2;0) без разрыва. Функция с модулем всегда непрерывна (это следует из самого определения модуля), поэтому здесь разрыва не бывает никогда — может быть только излом.

Для каждой параболы берём вершину и точки по обе стороны.

Обе параболы направлены вверх и плавно стыкуются в точке (−2; 0) — разрыва здесь нет, только излом.

В положении 1 правая парабола уже даёт 2 точки, плюс сама вершина — итого 3. В положении 2 правая парабола даёт 2 точки (включая саму точку стыка), а левая — ещё одну — тоже 3.

Это изолированные значения, а не промежуток — по обе стороны от них число точек сразу меняется на 2 или на 4.

Получили две отдельные квадратичные функции, у обеих коэффициент при x² отрицательный — ветви вниз.

x₀ = −b/(2a) для каждой параболы отдельно; y₀ находим подстановкой x₀ обратно в соответствующую функцию.

Оба значения равны 0 — функции сходятся в точке (2;0) без разрыва, как и всегда у функции с модулем.

Для каждой параболы берём вершину и точки по обе стороны.

Обе параболы направлены вниз; правая «выше» левой — у неё максимум 9 против 4.

При m = 0 левая парабола даёт ещё одну точку левее стыка, правая — ещё одну правее — вместе с самой точкой стыка получается 3. При m = 4 левая парабола даёт 2 точки, а правая — только вершину — тоже 3.

Оба значения — изолированные точки, не промежутки.

Получили две отдельные квадратичные функции.

x₀ = −b/(2a) для каждой параболы отдельно; y₀ находим подстановкой x₀ обратно в соответствующую функцию.

Оба значения равны 0 — функции сходятся в точке (0;0) без разрыва, как и всегда у функции с модулем.

Для каждой параболы берём вершину и точки по обе стороны.

Правая ветвь — парабола вверх с минимумом −0,25, левая — парабола вниз с максимумом 6,25.

В положении 1 правая парабола даёт только вершину (1 точка), левая добавляет ещё одну — итого 2. В положении 2 наоборот: левая даёт только вершину, правая — ещё одну точку.

Между этими значениями обе параболы дают по 2 точки каждая (итого 3 или 4) — а вне них суммарно остаётся только 1.

Получили две отдельные квадратичные функции.

x₀ = −b/(2a) для каждой параболы отдельно; y₀ находим подстановкой x₀ обратно в соответствующую функцию.

Оба значения равны 0 — функции сходятся в точке (0;0) без разрыва, как и всегда у функции с модулем.

Для каждой параболы берём вершину и точки по обе стороны.

Правая ветвь — парабола вверх с минимумом −9, левая — парабола вниз с максимумом 4.

В положении 1 правая парабола даёт только вершину, левая добавляет ещё одну точку. В положении 2 — наоборот.

Вне этих значений одна из парабол всегда даёт две точки, а не одну.

Корни трёхчлена — 1 и 3, между ними парабола отрицательна (ветви вверх, значит между корнями — «яма»).

Вторая функция — это первая, отражённая вверх, поэтому у неё те же нули (1 и 3), но вершина направлена вверх.

Вершина исходной параболы (2;−1) физически не появляется на графике — вместо неё в этом промежутке рисуем отражённую часть с вершиной (2;1).

Одна таблица на весь график: вне [1;3] — обычная парабола, внутри — отражённый «горб».

Получается фигура из двух растущих «крыльев» и невысокого горба между ними.

При y=1 горб даёт только вершину (касание), а при y=0 горб и крылья встречаются в одних и тех же точках 1 и 3 — в обоих случаях точек меньше.

Это единственное число в ответе — вопрос не про диапазон m, а про максимум.

Разложили знаменатель на множители и нашли, при каких x он обращается в ноль — эти значения исключаем из области определения.

Функция дробно-рациональная. После сокращения график — это гипербола y = −4 − 1/x со сдвигом вниз на 4, но с одной выколотой точкой (там, где было сокращение).

x=−1 — та самая точка, где сокращали дробь: в исходной функции там 0/0, а в упрощённой формуле подставить можно, но брать нельзя.

x=0 и x=−1 в таблицу не включаем — это асимптота и дыра.

Левая ветвь идёт из области выше −4 вверх к +∞ около x=0; правая — из −∞ вверх, приближаясь к −4 сверху.

Это ровно два уровня, где горизонтальная прямая гарантированно не встретит график.

При любом другом m прямая пересечёт одну из двух ветвей гиперболы хотя бы один раз.

Знаменатель обращается в ноль только при x=2 — это единственное ограничение.

Функция дробно-рациональная. После сокращения график — гладкая возрастающая кривая (парабола вверх при x≥0, парабола вниз при x<0, сшитые в начале координат), но с одной выколотой точкой.

Это единственная исключённая точка — во всех остальных точках функция 0,75x|x| определена и монотонно возрастает.

При x ≥ 0 это 0,75x², при x < 0 — это −0,75x²; обе половины сходятся в точке (0;0).

Функция монотонна и непрерывна везде, кроме одной точки — поэтому у неё нет ни асимптот, ни разрывов, только эта дыра.

Функция 0,75x|x| монотонна и взаимно однозначна на всей числовой прямой — любое другое m обязательно встретится ровно один раз.

Единственное число, а не промежуток — потому что функция монотонна и задета только в одной точке.

Дробь 2,5/x не определена при x=0.

Это известное тождество: полусумма плюс полуразность модуля всегда даёт больший из двух аргументов.

При x>0 функция не бывает меньше 1 (минимум в точке x=2,5). При x<0 она не бывает меньше −1 (тоже минимум ветви, в точке x=−2,5) — и на обоих концах этой ветви (x→0⁻ и x→−∞) стремится к 0, но никогда его не достигает.

При x=−2,5 и x=2,5 функция достигает минимума своей ветви — это и есть точки перехода между двумя гиперболами внутри max(a,b).

На каждой из двух половин функция сначала идёт как одна ветвь гиперболы, потом плавно переходит в другую — ровно в точке, где a=b.

Функция принимает значения только из [−1; 0) ∪ [1; +∞). При m=1 и m=−1 — это минимумы своих ветвей, ровно 1 точка. При m>1 или −1<m<0 — уже 2 точки; при 0≤m<1 или m<−1 — ни одной.

Это ровно те точки, где переключаются местами a и b — «стыки» двух ветвей.

Знаменатель обращается в ноль только при x=−1.

Функция дробно-рациональная. После сокращения график — это парабола y=−x²−2,25 с одной выколотой точкой.

Парабола целиком лежит ниже оси x — её максимум −2,25 всё равно отрицателен.

x=−1 в таблицу можно включить как ориентир, но на графике эта точка выколотая.

Парабола симметрична относительно оси y.

k=±3 — обычное касание параболы (дискриминант равен нулю). k=3,25 — секущая, у которой одна из двух точек пересечения совпадает с дырой, и остаётся только одна.

Первые два значения — касание параболы, третье — секущая с одной «вырезанной» дырой точкой.

Разложили знаменатель на множители и нашли, при каких x он обнуляется.

Функция дробно-рациональная. После сокращения график — это гипербола y=1/x с одной выколотой точкой (там, где было сокращение); x=0 остаётся обычной вертикальной асимптотой.

Без учёта дыры это была бы обычная гипербола y=1/x с обеими ветвями.

x=0 в таблицу не включаем — там вертикальная асимптота.

Дыра лежит именно на правой (положительной) ветви — это и определит, при каком k она «сработает».

При k=1,96 положительный корень совпадает с дырой, и остаётся только отрицательный — единственная точка пересечения.

Единственное значение — потому что дыра лежит только на одной из двух симметричных ветвей.

Заменять x² на t² можно, потому что x² = |x|² = t² всегда, при любом знаке x.

Функция дробно-рациональная. Условие |x|≠0,4 означает сразу ДВЕ исключённые точки: x=0,4 и x=−0,4 — обе с одним и тем же y.

Функция −1/|x| чётная (симметричная относительно оси y), поэтому обе дыры оказываются на одной высоте.

x=0, x=0,4 и x=−0,4 в таблицу не включаем — асимптота и обе дыры.

Из-за модуля обе половины графика — зеркальные копии друг друга.

Оба критических k получаются из симметричных дыр — поэтому и сами значения оказываются симметричны: −6,25 и 6,25.

При любом другом k прямая обязательно пересечёт одну из двух ветвей ровно один раз.