Разбор задания 14 ОГЭ по математике: 10 типов с решениями

Q: Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?

В арифметической каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа: например, 18, 20, 22. В геометрической — умножением на одно и то же число: например, 4, 12, 36. Слова «на 2 больше» указывают на разность, «в 3 раза больше» — на множитель.

Q: Какие формулы нужны для арифметической прогрессии?

Формула n-го члена: aₙ = a₁ + d(n − 1), где d — разность. Сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2. Если известны два члена, разность равна изменению их значений, делённому на разность номеров.

Q: Как выбрать n в формуле геометрической прогрессии?

В справочных материалах bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, где b₁ — первый член, q — знаменатель. От первого члена до n-го происходит n − 1 умножений. Если начальная масса — b₁ и прошло четыре периода, ищем b₅. Если дана высота первого прыжка b₁, высота восьмого прыжка — b₈.

Q: Можно ли решить задание 14 без формул прогрессий?

Да, если членов немного, их можно последовательно выписать и при необходимости сложить. Например, высоты прыжков удобно делить пополам. Формулы помогают сократить вычисления и полезны при большом числе членов.

Q: Что записывать в ответ в задании 14?

Искомое число без единиц измерения: например, 390, −62 или 12,5. Проверь, что найдено именно то, о чём спрашивают: сумма, отдельное значение или номер прыжка. В десятичной дроби используй запятую.

Тип 1 из 10

Условие

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a_1=18,\quad d=2,\quad n=13$

Числа мест образуют арифметическую прогрессию: 18, 20, 22 и так далее. Разность d равна прибавке в каждом следующем ряду.

$a_n=a_1+d(n-1)$

$a_{13}=18+2\cdot(13-1)=42$

От первого ряда до тринадцатого — 12 переходов, поэтому прибавляем 2 ровно 12 раз.

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$

$S_{13}=\dfrac{(18+42)\cdot13}{2}=390$

Среднее число мест в ряду равно 30. Умножаем его на 13 рядов и получаем 390 мест.

Ответ 390

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: нашли 42 места в последнем ряду и записали это в ответ. Здесь требуется сумма мест во всех рядах.

Тип 2 из 10

Условие

В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра?

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a_1=22,\quad d=2,\quad n=12$

Всего рядов 16, но спрашивают только о двенадцатом. В формулу подставляем n = 12.

$n-1=12-1=11$

$11\cdot2=22$

Во втором ряду на одну прибавку больше, чем в первом; в двенадцатом — на одиннадцать прибавок.

$a_{12}=a_1+11d=22+22=44$

В двенадцатом ряду 44 места. Складывать места во всех рядах не требуется.

Ответ 44

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: использовали 16 вместо 12 или прибавили разность 12 раз. Ориентируйся на номер нужного ряда и n − 1 переходов.

Тип 3 из 10

Условие

В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 26 мест, а в восьмом ряду 30 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$d=\dfrac{a_8-a_6}{8-6}=\dfrac{30-26}{2}=2$

От шестого ряда до восьмого два перехода: шестой → седьмой → восьмой. Общая прибавка 4 места приходится на эти два перехода.

$18-8=10$

$a_{18}=a_8+10d=30+10\cdot2=50$

Последний ряд — восемнадцатый. От восьмого до него ещё 10 прибавок по 2 места.

$a_{18}=26+(18-6)\cdot2=50$

Из обоих известных рядов получаем один результат: в последнем ряду 50 мест.

Ответ 50

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приняли разность 30 − 26 = 4 за прибавку на один ряд. Между шестым и восьмым рядами два перехода, поэтому d = 2.

Тип 4 из 10

Условие

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 8° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 7 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла −6° C.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a_1=-6,\quad d=-8$

$a_n=a_1+d(n-1)$

a₁ — начальная температура, a₂ — температура через одну минуту. Разность d = −8: каждая прошедшая минута уменьшает температуру на 8 градусов.

$n=7+1=8$

$8\cdot7=56$

За 7 минут происходят семь уменьшений. Начальную температуру обозначили a₁, поэтому через 7 минут получим a₈. Общее снижение — 56 градусов.

$a_8=-6+(-8)\cdot(8-1)=-62$

При охлаждении отрицательная температура становится ещё ниже. Ответ: −62 градуса Цельсия.

Ответ -62

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: взяли шесть уменьшений вместо семи или потеряли минус начальной температуры. Время отсчитывается от нулевого момента.

Тип 5 из 10

Условие

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 4 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$b_1=4,\quad q=3$

$n-1=\dfrac{120}{30}=4,\quad n=5$

b₁ — начальная масса, q — знаменатель геометрической прогрессии. За 120 минут масса увеличится четыре раза, поэтому ищем пятый член b₅.

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

$b_5=4\cdot3^{5-1}=4\cdot81=324$

«В 3 раза» означает умножение на 3. При каждом новом увеличении умножается уже выросшая масса.

$4\to12\to36\to108\to324$

Первое число — масса в начальный момент, а четыре стрелки — четыре периода роста. Через 120 минут масса равна 324 мг.

Ответ 324

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: умножили 4 · 3 · 4 вместо 4 · 3⁴. При росте в несколько раз нужен повторяющийся множитель, а не одинаковая прибавка.

Тип 6 из 10

Условие

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$b_1=200,\quad q=\dfrac12$

$n-1=\dfrac{32}{8}=4,\quad n=5$

b₁ — начальная масса, знаменатель q = 1/2 означает уменьшение вдвое. За 32 минуты пройдут четыре периода, поэтому оставшаяся масса — пятый член b₅.

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

$b_5=200\cdot\left(\dfrac12\right)^{5-1}$

$b_5=\dfrac{200}{16}=12{,}5$

Четыре деления на 2 равносильны одному делению на 16.

$200\to100\to50\to25\to12{,}5$

Через 32 минуты остаётся 12,5 мг. В ответе десятичную дробь записываем с запятой.

Ответ 12,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: каждый раз вычитали половину начальных 200 мг. Делить пополам нужно текущую массу, поэтому она не становится нулевой после двух периодов.

Тип 7 из 10

Условие

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6{,}4\ \text{м}=640\ \text{см}$

$b_1=640,\quad q=\dfrac12$

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

$b_n=640\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}$

bₙ — высота n-го прыжка в сантиметрах, q = 1/2 — знаменатель прогрессии. Высота 6,4 м относится уже к первому прыжку. До n-го прыжка будет n − 1 уменьшений вдвое.

$b_1=640,\quad b_2=320,\quad b_3=160$

$b_4=80,\quad b_5=40,\quad b_6=20$

Все высоты указаны в сантиметрах. Пока каждый прыжок достигает высоты 10 см.

$b_7=10,\quad b_8=5$

$b_7=10,\quad b_8<10$

При седьмом прыжке мячик ещё достигает 10 см. Впервые не достигнет этой высоты при восьмом прыжке.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: ответили 7, когда высота стала ровно 10 см. «Не достигнет» означает строго меньше 10 см, поэтому нужен следующий прыжок.

Тип 8 из 10

Условие

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 21 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 7 секунд торможения?

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a_1=21,\quad d=-3,\quad n=7$

aₙ — путь только за n-ю секунду, а не за всё время от начала торможения. Уменьшение на 3 м задаёт отрицательную разность.

$a_7=21+(7-1)\cdot(-3)=3$

За седьмую секунду автомобиль проехал 3 м. Это последний член нужной суммы.

$S_7=\dfrac{21+3}{2}\cdot7=84$

$21+18+15+12+9+6+3=84$

Сумма расстояний за первые семь секунд равна 84 м.

Ответ 84

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: записали 3 м — путь только за седьмую секунду. Слова «за первые 7 секунд» требуют сложить все семь расстояний.

Тип 9 из 10

Условие

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 24 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a_1=24,\quad d=-3$

$24,\ 21,\ 18,\ 15,\ 12,\ 9,\ 6,\ 3,\ 0$

По условию каждое следующее расстояние на 3 м меньше. Когда оно достигает нуля, дальнейший путь не прибавляется.

$24+(n-1)\cdot(-3)=3$

$3(n-1)=21,\quad n=8$

Положительных расстояний восемь: последнее равно 3 м. Следующее равно нулю и на сумму не влияет.

$S_8=\dfrac{24+3}{2}\cdot8=108$

Автомобиль прошёл 108 м. Продолжать прогрессию до отрицательных расстояний нельзя: движение уже закончилось.

Ответ 108

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: не определили число слагаемых или продолжили вычитать 3 после нулевого расстояния. До остановки складываем только пройденные расстояния.

Тип 10 из 10

Условие

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 1 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a_1=1,\quad d=0{,}5,\quad n=10$

Слагаемые — пути за отдельные секунды: 1 м, 1,5 м, 2 м и так далее.

$a_{10}=1+(10-1)\cdot0{,}5=5{,}5$

От первой до десятой секунды девять прибавок по 0,5 м.

$S_{10}=\dfrac{1+5{,}5}{2}\cdot10=32{,}5$

За первые десять секунд состав прошёл 32,5 м. Записываем число с десятичной запятой.

Ответ 32,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: умножили 5,5 на 10, будто поезд каждую секунду проходил одинаковое расстояние. Для суммы используй среднее первого и последнего членов.

Частые ошибки в задании 14

Почти все потерянные баллы в номере 14 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.

Вид прогрессии Перепутали «на» и «в»

Рост на 3 означает одинаковую прибавку, а рост в 3 раза — умножение текущего значения на 3.

Для изменения на одно число используй разность d арифметической прогрессии (aₙ); для изменения в одно число раз — знаменатель q геометрической прогрессии (bₙ).

Число переходов Ошиблись на один шаг

От первого ряда до n-го разность прибавляется n − 1 раз. Но за 7 минут от начального момента температура меняется семь раз.

Обозначь начальную точку: это первый член или момент времени 0. Посчитай именно переходы между значениями.

Что найти Нашли отдельный член вместо суммы

Число мест в последнем ряду или путь за последнюю секунду приняли за общее количество.

«В двенадцатом ряду» — отдельный член. «Всего мест» и «за первые 10 секунд» — сумма членов.

Единицы и периоды Неверно посчитали число изменений

Сравнили 6,4 м с 10 см или приняли 120 минут за 120 утроений, хотя масса утраивается каждые 30 минут.

Приведи величины к одним единицам. Число изменений равно общему времени, делённому на длительность одного периода.

Граница Не проверили условие остановки

Выбрали прыжок ровно на 10 см вместо первого ниже 10 см или продолжили считать отрицательные расстояния при торможении.

Проверь граничное и соседнее значения. «Не достигнет» требует строгого неравенства, а после остановки путь не растёт.

Вопросы про задание 14

Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?

В арифметической каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа: например, 18, 20, 22. В геометрической — умножением на одно и то же число: например, 4, 12, 36. Слова «на 2 больше» указывают на разность, «в 3 раза больше» — на множитель.

Какие формулы нужны для арифметической прогрессии?

Формула n-го члена: aₙ = a₁ + d(n − 1), где d — разность. Сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2. Если известны два члена, разность равна изменению их значений, делённому на разность номеров.

Как выбрать n в формуле геометрической прогрессии?

В справочных материалах bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, где b₁ — первый член, q — знаменатель. От первого члена до n-го происходит n − 1 умножений. Если начальная масса — b₁ и прошло четыре периода, ищем b₅. Если дана высота первого прыжка b₁, высота восьмого прыжка — b₈.

Можно ли решить задание 14 без формул прогрессий?

Да, если членов немного, их можно последовательно выписать и при необходимости сложить. Например, высоты прыжков удобно делить пополам. Формулы помогают сократить вычисления и полезны при большом числе членов.

Что записывать в ответ в задании 14?

Искомое число без единиц измерения: например, 390, −62 или 12,5. Проверь, что найдено именно то, о чём спрашивают: сумма, отдельное значение или номер прыжка. В десятичной дроби используй запятую.

Разбор задания 14 ОГЭ по математике

Тип 1 из 10

Тип 2 из 10

Тип 3 из 10

Тип 4 из 10

Тип 5 из 10

Тип 6 из 10

Тип 7 из 10

Тип 8 из 10

Тип 9 из 10

Тип 10 из 10

Частые ошибки в задании 14

Вопросы про задание 14

Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT проконтроллирует

Разборы других заданий ОГЭ по математике

Надоело читать разбор?