Разбор 10 задания ОГЭ по математике
Задание 10 — на теорию вероятностей. Нужно найти вероятность события: по классической формуле, через противоположное событие, дерево или диаграмму Эйлера — точным подсчётом исходов, без калькулятора. Развёрнутое решение не нужно, но 1 балл ставят только за полностью верный числовой ответ.
Задача 1
Тип 1У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Источник: Банк ФИПИВсе чашки либо с красными, либо с синими цветами. Вычитаем красные из общего количества.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 2
Тип 2На экзамене 50 билетов, Маша не выучила 10 из них. Найдите вероятность того, что ей попадётся выученный билет.
Источник: Банк ФИПИНужен выученный билет. Из всех билетов вычитаем невыученные.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 3
Тип 3В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 чёрная, 1 жёлтая и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Источник: Банк ФИПИНужен цвет «жёлтый»: таких машин 1. В модели задачи каждая из свободных машин имеет одинаковый шанс оказаться ближайшей.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 4
Тип 4Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,29. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Источник: Банк ФИПИРучка либо пишет хорошо, либо пишет плохо или не пишет. Вероятность второго события равна 0,29; сумма вероятностей этих двух событий равна 1.
Вычитаем именно данную вероятность из 1, чтобы получить вероятность хорошей ручки.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 5
Тип 5В магазине канцтоваров продаётся 84 ручки: 22 красных, 9 зелёных, 41 фиолетовая, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.
Источник: Банк ФИПИПодходят цвета «красный» и «фиолетовый». Одна ручка не относится к обоим цветам сразу, поэтому числа складываем.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 6
Тип 6В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.
Источник: Банк ФИПИЖребий равновероятно назначает первым любого участника, независимо от страны.
Для «не из» исключаем названную страну; для «или» складываем участников указанных стран.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 7
Тип 7В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, четыре неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Источник: Банк ФИПИИз 200 фонариков исключаем 4 неисправных.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 8
Тип 8Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.
Источник: Банк ФИПИПазлов с машинами 21; каждый получает случайного адресата из 25 детей. Для одного названного ребёнка благоприятных назначений 21.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 9
Тип 9Под классной доской в лотке лежат 28 чёрных и 7 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.
Источник: Банк ФИПИСиних маркеров 7, а все возможные исходы включают оба цвета.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 10
Тип 10Из ящика, где хранятся 10 жёлтых и 16 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.
Источник: Банк ФИПИПервый зелёный карандаш уже вынули и не вернули: уменьшаются и общее число карандашей, и число зелёных.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Первый зелёный карандаш — известное условие. Его вероятность повторно не умножаем. После извлечения уменьшаем и числитель, и знаменатель на 1.
Задача 11
Тип 11Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.
Источник: Банк ФИПИОбщее число орлов за все броски известно, поэтому число решек равно оставшемуся числу бросков.
При известном количестве орлов все расположения этих 9 орлов по 20 позициям равновероятны. Для любой фиксированной позиции вероятность решки равна доле решек; номер позиции её не меняет.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Здесь известен итог всех бросков. Требуется условная вероятность для одной позиции при этом итоге, поэтому нельзя автоматически отвечать 0,5.
Задача 12
Тип 12В случайном опыте $N = 30$ равновозможных элементарных событий, из которых $N(A) = 27$ благоприятствуют событию $A$. Вычислите вероятность события $A$.
Источник: Банк ФИПИВсего элементарных исходов 30, событию A благоприятствуют 27. Равновозможность исходов указана в условии.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.
Задача 13
Тип 13На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.
Источник: Банк ФИПИ
Из корня ветвь A имеет вероятность 0,25, ветвь не-A — 0,75. После A ветвь B имеет вероятность 0,375, после не-A — 0,875. Суммы исходящих из каждой вершины вероятностей равны 1.
Вероятности вдоль одного пути перемножаются. Вероятность второй ветви условная: независимость A и B здесь не предполагается.
Событие B достигается либо через A, либо через не-A. Эти пути не пересекаются, поэтому вероятности складываем.
Где теряют балл: По одному пути вероятности перемножают, а вероятности разных несовместных путей складывают. Используй обе ветви, ведущие к B.
Задача 14
Тип 14На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap B$.
Источник: Банк ФИПИ
только A — 0,3; пересечение A и B — 0,1; только B — 0,2; вне обоих событий — 0,4. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.
В нужное событие входят области: пересечение A и B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.
Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.
Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.
Задача 15
Тип 15На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A$.
Источник: Банк ФИПИ
только A — 18; пересечение A и B — 6; только B — 12; вне обоих событий — 24. Числа — количества равновозможных исходов.
В нужное событие входят области: только A, пересечение A и B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.
Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.
Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.
Частые ошибки в задании 10
Почти все потерянные баллы в номере 10 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.
Классическая вероятность — это отношение благоприятных исходов к общему числу исходов. Частая ошибка — разделить нужное количество на число исходов другого вида, а не на общее число.
Если известна вероятность события «плохо» или «неисправен», а спрашивают про «хорошо» или «исправен», нужно вычесть данное значение из 1, а не переписать его в ответ как есть.
Если по условию первый предмет уже выбран (без возвращения) и известен его результат, для второго предмета общее число и число нужного вида уменьшаются на 1 — использовать исходные числа нельзя.
На дереве случайного опыта нужное событие часто достижимо не одним, а несколькими путями. Если посчитать вероятность только одного пути, ответ получится заниженным.
Круг A на диаграмме Эйлера включает не только область, где нет B, но и общую часть с B. Если для события A взять только область «только A», ответ получится заниженным.
Вопросы про задание 10
Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT проконтроллирует
Пиши решение на доске, как в тетради. ИИ видит каждую строчку по мере появления и подсказывает ровно там, где ты свернул не туда — не решает за тебя.
Демонстрация: ученик решает геометрическую задачу ОГЭ с окружностью, правильно находит первый угол и спрашивает, как продолжить. ClassGPT считывает чертёж, выделяет два радиуса и наводит ученика на свойство равнобедренного треугольника.
Разборы других заданий ОГЭ по математике
Часть 1 — задания 1–19, часть 2 — задания 20–25. Выбери номер, чтобы перейти к его разборам.