Разбор задания 10 ОГЭ по математике
Задание 10 — на теорию вероятностей. Нужно найти вероятность события: по классической формуле, через противоположное событие, дерево или диаграмму Эйлера — точным подсчётом исходов, без калькулятора. Развёрнутое решение не нужно, но 1 балл ставят только за полностью верный числовой ответ.
Ниже — 17 типов номера 10 из банка ФИПИ. И полный разбор по шагам:
Тип 1 из 17
У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Источник: Банк ФИПИВсего чашек 25, из них 7 с красными цветами — значит, синих чашек 25−7=18.
По классическому определению вероятности делим число благоприятных исходов (синих чашек) на общее число исходов (всех чашек).
Где теряют балл: посчитали вероятность как 7/25 — вероятность для красных чашек — перепутав, о каком цвете спрашивает условие.
Тип 2 из 17
На экзамене 50 билетов, Маша не выучила 10 из них. Найдите вероятность того, что ей попадётся выученный билет.
Источник: Банк ФИПИРаз Маша не выучила 10 билетов из 50, значит выучила 50−10=40.
Делим число благоприятных исходов (выученных билетов) на общее число билетов.
Где теряют балл: разделили число невыученных билетов на общее число — 10/50=0,2 — забыв, что вопрос про вероятность вытянуть именно выученный билет.
Тип 3 из 17
В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 чёрная, 1 жёлтая и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Источник: Банк ФИПИПо условию жёлтая машина только одна — это и есть число благоприятных исходов.
Делим число жёлтых машин на общее число свободных машин.
Где теряют балл: сложили количество жёлтых и чёрных машин и посчитали вероятность как 2/10, хотя в условии спрашивают только про жёлтое такси.
Тип 4 из 17
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,29. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Источник: Банк ФИПИСобытия «пишет хорошо» и «пишет плохо» противоположны: вместе они образуют все возможные исходы, поэтому сумма их вероятностей равна 1.
Вычитаем данную в условии вероятность из единицы.
Где теряют балл: перепутали, какое событие противоположное, и записали в ответ саму данную вероятность 0,29 вместо 1−0,29.
Тип 5 из 17
В магазине канцтоваров продаётся 84 ручки: 22 красных, 9 зелёных, 41 фиолетовая, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.
Источник: Банк ФИПИСобытие «красная или фиолетовая» объединяет два непересекающихся варианта — благоприятные исходы просто складываются; данные про синие и чёрные ручки здесь не нужны.
Делим сумму благоприятных исходов на общее число ручек в магазине.
Где теряют балл: попытались сначала вычислить количество синих и чёрных ручек по остатку, хотя для события «красная или фиолетовая» эти данные не нужны — и только запутались в вычислениях.
Тип 6 из 17
В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.
Источник: Банк ФИПИОбщее число исходов — это все спортсмены, участвующие в жеребьёвке, из всех трёх стран.
Делим число спортсменов из России на общее число участников жеребьёвки.
Где теряют балл: разделили число российских спортсменов не на общее число участников, а на число спортсменов из других стран (6+3=9), перепутав общее число исходов.
Тип 7 из 17
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, четыре неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Источник: Банк ФИПИВсего фонариков 200, из них 4 неисправны — значит, исправных 200−4=196.
Делим число исправных фонариков на общее число фонариков.
Где теряют балл: разделили число неисправных фонариков на общее количество — 4/200=0,02 — забыв, что нужна вероятность противоположного события: что фонарик исправен, а не неисправен.
Тип 8 из 17
Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.
Источник: Банк ФИПИВсего пазлов 25, из них 21 с машинами — при случайном распределении шанс Саши получить пазл с машиной равен доле таких пазлов среди всех.
Делим число пазлов с машинами на общее число пазлов.
Где теряют балл: посчитали вероятность через число пазлов с городами (4/25) — перепутав, о каком именно виде пазла спрашивает условие.
Тип 9 из 17
Под классной доской в лотке лежат 28 чёрных и 7 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.
Источник: Банк ФИПИОбщее число исходов — это все маркеры в лотке, чёрные и синие вместе.
Делим число синих маркеров на общее число маркеров.
Где теряют балл: разделили число синих маркеров на число чёрных (7/28) вместо того, чтобы делить на общее число маркеров (7/35).
Тип 10 из 17
Из ящика, где хранятся 10 жёлтых и 16 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.
Источник: Банк ФИПИПервый карандаш уже вынут из ящика и был зелёным, поэтому и общее число карандашей, и число зелёных карандашей уменьшаются на 1.
Делим оставшееся число зелёных карандашей на оставшееся общее число карандашей в ящике.
Где теряют балл: посчитали вероятность по исходным числам без учёта того, что один зелёный карандаш уже вынут, — записали 16/26 вместо 15/25.
Тип 11 из 17
Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.
Источник: Банк ФИПИВсего бросков 20, орёл выпал 9 раз — значит, решка выпала в оставшихся 20−9=11 бросках.
Статистическая вероятность (частота) события — это отношение числа испытаний, в которых оно произошло, к общему числу испытаний.
Где теряют балл: разделили число орлов на общее число бросков (9/20=0,45), забыв сначала найти, сколько раз выпала решка.
Тип 12 из 17
В случайном опыте N = 30 равновозможных элементарных событий, из которых N(A) = 27 благоприятствуют событию A. Вычислите вероятность события A.
Источник: Банк ФИПИКлассическое определение вероятности: число благоприятных исходов делим на общее число равновозможных исходов.
Подставляем N=30 и N(A)=27 и вычисляем частное.
Где теряют балл: перепутали местами числитель и знаменатель — записали 30/27 вместо 27/30.
Тип 13 из 17
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события B.
Событие B происходит либо через ветвь A (вероятность перехода 0,25, затем 0,375), либо через ветвь Ā (вероятность перехода 0,75, затем 0,875) — это два разных, непересекающихся пути к B.
Вдоль каждого пути вероятности переходов перемножаются — это вероятность того, что события вдоль этого пути произойдут одно за другим.
Пути к событию B не пересекаются, поэтому их вероятности складываются — в этом и есть формула полной вероятности.
Где теряют балл: учли только один путь к событию B (например, только через A), забыв, что B может наступить и через Ā, — путей к нужному событию на дереве обычно столько, сколько веток до него доходит.
Тип 14 из 17
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события A∩B.
Круги A и B на рисунке перекрываются — общая часть посередине и есть событие «A и B произошли одновременно», то есть A∩B. Сумма всех четырёх областей равна 1: 0,3+0,1+0,2+0,4=1.
Вероятность пересечения подписана прямо в общей области кругов — дополнительных вычислений не нужно.
Где теряют балл: сложили вероятность пересечения с вероятностью области «только A» или «только B», перепутав пересечение событий с их объединением.
Тип 15 из 17
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события A.
Общее число исходов — это сумма количеств во всех четырёх областях: только A, пересечение, только B и вне обоих кругов.
Кругу A принадлежит и область «только A», и область пересечения с B — пересечение тоже часть A, поэтому обе области складываются.
Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.
Где теряют балл: посчитали вероятность события A только по области «только A», не прибавив область пересечения с B, — получили 18/60 вместо 24/60.
Тип 16 из 17
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $B$.
Кругу B принадлежат точки и в общей части с A, и в части, где только B, — всего четыре точки.
Вероятность события — это сумма вероятностей всех элементарных исходов, которые ему принадлежат.
Где теряют балл: сложили вероятности только точек в области «только B», забыв прибавить точки из пересечения с A, которые тоже принадлежат событию B.
Тип 17 из 17
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события $B$.
В отличие от предыдущего типа, у точек здесь нет подписанных вероятностей — все они равновозможны, поэтому просто пересчитываем их количество по областям.
Применяем классическое определение вероятности: число точек события B делим на общее число точек.
Где теряют балл: посчитали только точки в области «только B», не прибавив точки из пересечения с A, хотя они тоже принадлежат кругу B.
Частые ошибки в задании 10
Почти все потерянные баллы в номере 10 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.
Классическая вероятность — это отношение благоприятных исходов к общему числу исходов. Частая ошибка — разделить нужное количество на число исходов другого вида, а не на общее число.
Если известна вероятность события «плохо» или «неисправен», а спрашивают про «хорошо» или «исправен», нужно вычесть данное значение из 1, а не переписать его в ответ как есть.
Если по условию первый предмет уже выбран (без возвращения) и известен его результат, для второго предмета общее число и число нужного вида уменьшаются на 1 — использовать исходные числа нельзя.
На дереве случайного опыта нужное событие часто достижимо не одним, а несколькими путями. Если посчитать вероятность только одного пути, ответ получится заниженным.
Круг A на диаграмме Эйлера включает не только область, где нет B, но и общую часть с B. Если для события A взять только область «только A», ответ получится заниженным.
Вопросы про задание 10
Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT посмотрит
Пиши решение на доске, как в тетради. ИИ видит каждую строчку по мере появления и подсказывает ровно там, где ты свернул не туда — не решает за тебя.
Демонстрация: ученик решает геометрическую задачу ОГЭ с окружностью, правильно находит первый угол и спрашивает, как продолжить. ClassGPT считывает чертёж, выделяет два радиуса и наводит ученика на свойство равнобедренного треугольника.
Разборы других заданий ОГЭ по математике
Часть 1 — задания 1–19, часть 2 — задания 20–25. Разборы остальных номеров скоро появятся.