Разбор задания 8 ОГЭ по математике
Задание 8 — на знание свойств степеней и квадратных корней. Нужно упростить выражение по формулам и вычислить его точное значение — без калькулятора, только правильным порядком действий. Развёрнутое решение не нужно, но 1 балл ставят только за полностью верный числовой ответ.
Ниже — 25 типов номера 8 из банка ФИПИ. И полный разбор по шагам:
Тип 1 из 25
Найдите значение выражения:
15 — составное число: раскладываем его на простые множители, чтобы дальше сокращать степени по каждому основанию отдельно.
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: aᵐ:aⁿ=aᵐ⁻ⁿ. Отдельно для тройки и для пятёрки.
Где теряют балл: не заметили, что 15 = 3·5, и пытались сократить 15⁸ с 3⁶ и 5⁷ напрямую, не разложив основание на простые множители.
Тип 2 из 25
Найдите значение выражения:
16 — это 2 в четвёртой степени: 2·2·2·2=16, теперь у числителя и знаменателя одинаковое основание.
Основания одинаковые — делим по правилу aᵐ:aⁿ=aᵐ⁻ⁿ: 9−4=5. Дальше просто возводим в степень.
Где теряют балл: разделили 9 на 4 вместо вычитания показателей — перепутали правило деления степеней с делением обычных чисел.
Тип 3 из 25
Найдите значение выражения:
3 · (−7) = −21 — при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Вычитаем показатель знаменателя из показателя числителя: −21 − (−23) = −21 + 23 = 2. Минус на минус даёт плюс.
Где теряют балл: при вычитании отрицательных показателей потеряли знак: −21−(−23) посчитали как −21−23=−44 вместо правильных +2.
Тип 4 из 25
Найдите значение выражения:
6 · 2 = 12 — показатели перемножаются.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: −8+12=4.
Где теряют балл: перемножили показатели вместо сложения при умножении степеней — посчитали 3⁻⁸·¹² вместо правильного 3⁻⁸⁺¹².
Тип 5 из 25
Найдите значение выражения:
Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя: (ab)ⁿ=aⁿbⁿ.
3⁷ в числителе и знаменателе сокращаются полностью, остаётся только 8⁷⁻⁵=8².
Где теряют балл: забыли, что степень произведения распределяется на каждый множитель, и пытались сократить (3·8)⁷ с 3⁷ напрямую, не раскрыв скобку.
Тип 6 из 25
Найдите значение выражения:
1/aⁿ = a⁻ⁿ — единица, делённая на степень, меняет знак показателя на противоположный.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 14+(−13)=1.
Где теряют балл: не поменяли знак показателя при переносе степени из знаменателя в числитель — получили 7⁻¹⁴ вместо 7¹⁴ и запутались в знаках.
Тип 7 из 25
Найдите значение выражения:
√a·√b=√(ab), а деление корней тоже объединяется под одним корнем: √a/√b=√(a/b) — считаем всё подкоренное выражение целиком.
121 — точный квадрат: 11²=121.
Где теряют балл: попытались извлечь корень из каждого числа отдельно (√22≈4,7; √33≈5,7), вместо того чтобы сначала объединить всё под одним корнем и упростить подкоренное выражение.
Тип 8 из 25
Найдите значение выражения:
(ab)²=a²b²: 3²=9, а (√5)²=5 — квадрат корня убирает сам корень.
Осталось обычное деление целых чисел.
Где теряют балл: забыли возвести множитель 3 в квадрат вместе с корнем — посчитали (3√5)² как 3·5=15 вместо верных 9·5=45.
Тип 9 из 25
Найдите значение выражения:
Числа перед корнями перемножаются независимо от того, что стоит под корнями.
7·3·21 = 441 — специально подобранное произведение: 441=21², точный квадрат.
441 — точный квадрат числа 21, поэтому корень извлекается без остатка, и остаётся умножить на уже посчитанный коэффициент 30.
Где теряют балл: умножили коэффициент 5 только на первый корень, забыв про второй коэффициент 6 — перепутали порядок действий.
Тип 10 из 25
Найдите значение выражения:
Так удобнее: под корнем окажется чётная степень простого числа 2, из которой корень извлекается точно.
Корень чётной степени извлекается делением показателя на 2: 10:2=5.
Где теряют балл: извлекли корень из показателя вместо основания и ошиблись с округлением, вместо аккуратного разложения через степень простого числа.
Тип 11 из 25
Найдите значение выражения:
Умножаем каждое слагаемое в скобке на √2 отдельно — обычное раскрытие скобок.
√50·√2=√(50·2)=√100=10 — точный квадрат; √2·√2=2 по определению корня.
Оба слагаемых уже без корней — складываем как обычные числа.
Где теряют балл: перемножили √50 и √2 напрямую в уме и ошиблись в подкоренном произведении — забыли, что 50·2=100 — точный квадрат.
Тип 12 из 25
Найдите значение выражения:
Сначала упрощаем подкоренное выражение первого множителя.
√a·√b=√(ab) — произведение корней равно корню из произведения: 315·35=11025.
11025 — точный квадрат: 105²=11025. Прикинуть можно так: 100²=10000, 110²=12100 — 105 между ними, и это единственный «круглый» кандидат.
Где теряют балл: перемножили числа под корнями с арифметической ошибкой и не смогли узнать точный квадрат в итоговом числе.
Тип 13 из 25
Найдите значение выражения:
Знаменатели дробей сопряжены, поэтому их произведение раскладывается по формуле (a+b)(a−b)=a²−b² — корень пропадает, так как (√15)²=15. Это и есть общий знаменатель после приведения обеих дробей.
При приведении к общему знаменателю числитель первой дроби умножается на (4−√15), а второй — на (4+√15). В сумме корни взаимно сокращаются.
Где теряют балл: попытались вычислить √15 приближённо и сложить дроби через десятичные приближения, вместо того чтобы заметить сопряжённые знаменатели и разность квадратов.
Тип 14 из 25
Найдите значение выражения:
(a−b)²=a²−2ab+b², где a=√13, b=3: (√13)²=13, 2·√13·3=6√13, 3²=9.
−6√13 и +6√13 взаимно сокращаются — остаются только целые числа 13 и 9.
Где теряют балл: забыли удвоенное произведение при раскрытии квадрата разности — посчитали (√13−3)² как 13+9=22 напрямую, без слагаемого −6√13, и не заметили, как оно сокращается с +6√13.
Тип 15 из 25
Найдите значение выражения:
(a−b)(a+b)=a²−b², где a=√17, b=3: (√17)²=17, 3²=9.
Корень полностью исчез — остаётся вычесть два целых числа.
Где теряют балл: перемножили скобки как обычные многочлены почленно вместо того, чтобы узнать формулу разности квадратов, — и ошиблись в раскрытии произведения с корнем.
Тип 16 из 25
Найдите значение выражения:
Умножение складывает показатели, деление — вычитает: 21+(−8)−11=2. Всё это делаем до подстановки числа.
Подставлять число нужно только после того, как выражение упрощено до одной степени — так вычисления проще и меньше риск ошибиться.
Где теряют балл: подставили a=5 в исходное выражение до упрощения и стали вычислять громоздкие степени 5²¹ и 5⁻⁸ напрямую, вместо того чтобы сначала упростить показатели.
Тип 17 из 25
Найдите значение выражения:
5 · (−2) = −10 — показатели перемножаются.
Умножение складывает показатель, деление на a⁻⁴ равносильно умножению на a⁴: −10+13+4=7.
Подставляем число только в самом конце, когда выражение уже свернуто до одной степени.
Где теряют балл: при делении на степень с отрицательным показателем не поменяли знак — вычли −4 вместо того, чтобы прибавить 4.
Тип 18 из 25
Найдите значение выражения:
17+(−6)=11 — при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
11−9=2 — при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
Выражение свернулось до a² — подставляем число только теперь.
Где теряют балл: сократили a¹⁷ с a⁹ напрямую, забыв про множитель a⁻⁶ в числителе, — потеряли часть показателя.
Тип 19 из 25
Найдите значение выражения:
8·2=16 — показатели перемножаются.
16−11=5 — при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
Выражение свернулось до a⁵ — теперь подставляем число.
Где теряют балл: сложили показатели вместо умножения при возведении степени в степень — посчитали (a⁸)² как a¹⁰ вместо a¹⁶.
Тип 20 из 25
Найдите значение выражения:
Степень в степени: 9·2=18. Степень произведения раскладывается на каждый множитель.
b¹⁸ сокращается полностью, а у a остаётся 21−18=3.
Переменная b полностью сократилась — её значение √5 не понадобилось: в ответе осталась только a.
Где теряют балл: попытались сразу подставить b=√5 в исходное выражение, не заметив, что после упрощения переменная b полностью сокращается и подставлять её не нужно.
Тип 21 из 25
Найдите значение выражения:
19−11=8 — сначала делим степени переменной, чтобы под корнем осталась чётная степень.
√25=5, а √(a⁸)=a⁴ — корень чётной степени извлекается делением показателя на 2.
Подставляем a=2 только после того, как корень уже извлечён.
Где теряют балл: подставили a=2 в подкоренное выражение до упрощения дроби a¹⁹/a¹¹ и стали считать громоздкий корень из большого числа вместо простого a⁸.
Тип 22 из 25
Найдите значение выражения:
√16=4, √(x⁸)=x⁴, √(y⁶)=y³ — корень чётной степени извлекается делением показателя на 2.
x⁴=2⁴=16, y³=4³=64 — подставляем оба значения только после того, как корень уже извлечён.
Где теряют балл: подставили значения x и y в исходное выражение под корнем и запутались в вычислении корня из громоздкой дроби, вместо того чтобы сначала извлечь корень по отдельности из числителя и знаменателя.
Тип 23 из 25
Найдите значение выражения:
√(1/9)=1/3, так как (1/3)²=1/9; √(x²)=x и √(y⁶)=y³ — корень чётной степени переменной.
y³=3³=27, а 27:3=9 — сначала сокращаем дробь 1/3 с 27, чтобы не умножать громоздкие числа.
Где теряют балл: забыли извлечь корень из числового коэффициента 1/9 и подставили его в ответ как есть, не превратив в 1/3.
Тип 24 из 25
Найдите значение выражения:
Чётная степень отрицательного числа положительна: минус при возведении в чётную степень исчезает.
8+2=10 — при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
Корень чётной степени извлекается делением показателя на 2: 10:2=5. Значение a=2 положительное, поэтому знак модуля не влияет на результат.
Где теряют балл: оставили минус у (−a)⁸ и получили отрицательное подкоренное выражение — забыли, что чётная степень отрицательного числа положительна.
Тип 25 из 25
Найдите значение выражения:
Проверяем формулу квадрата разности: (5b)²=25b², а удвоенное произведение 2·a·5b=10ab — совпадает с серединой выражения.
Корень из квадрата — это модуль, а не само выражение: результат не может быть отрицательным.
a−5b = 7−10 = −3, модуль отрицательного числа равен числу без знака: |−3|=3.
Где теряют балл: извлекли корень из квадрата без модуля и подставили числа напрямую в (a−5b) — получили −3 вместо верного положительного ответа 3.
Частые ошибки в задании 8
Почти все потерянные баллы в номере 8 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.
При возведении степени в степень (aᵐ)ⁿ показатели нужно перемножить, а при умножении степеней aᵐ·aⁿ — сложить. Эти два правила часто путают местами, особенно если в примере встречаются оба действия подряд.
При вычитании отрицательного показателя (например, −21−(−23)) теряют минус и получают неверный результат — вместо +2 выходит −44.
Вместо того чтобы сначала объединить произведение или частное корней под одним знаком (√a·√b=√(ab)), пытаются вычислить или оценить каждый корень отдельно — это либо невозможно без калькулятора, либо приводит к погрешности.
Если основание степени — составное число (например, 15=3·5 или 4=2²), без разложения на простые множители сократить дробь со степенями не получится.
Формула √(x²)=|x|, а не просто x — если под корнем стоит квадрат выражения, которое может быть отрицательным (например, a−5b), нужно поставить знак модуля и подставить числа только после этого.
Вопросы про задание 8
Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT посмотрит
Пиши решение на доске, как в тетради. ИИ видит каждую строчку по мере появления и подсказывает ровно там, где ты свернул не туда — не решает за тебя.
Демонстрация: ученик решает геометрическую задачу ОГЭ с окружностью, правильно находит первый угол и спрашивает, как продолжить. ClassGPT считывает чертёж, выделяет два радиуса и наводит ученика на свойство равнобедренного треугольника.
Разборы других заданий ОГЭ по математике
Часть 1 — задания 1–19, часть 2 — задания 20–25. Разборы остальных номеров скоро появятся.