К выбору номера задания
Часть 1 · № 18 1 балл

Разбор задания 18 ОГЭ по математике

Задание 18 — на геометрию на клетчатой бумаге. Сетка помогает находить основания, высоты, диагонали и расстояния. Считай промежутки между линиями, а для наклонных отрезков используй теорему Пифагора, подобие или проекции. Если спрашивают отношение площадей кругов, сравни квадраты радиусов.

Ниже — 13 типов номера 18 из банка ФИПИ: по первой задаче каждого типа с исходным рисунком и пошаговым решением. Во всех задачах на длины и площади клетка имеет размер 1 × 1; в задачах на отношения масштаб сокращается.

Тип 1 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Прямоугольный треугольник на сетке: горизонтальный катет 10 клеток, вертикальный 5 клеток. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$a\perp b$

Левая сторона вертикальна, нижняя горизонтальна. Они образуют прямой угол и являются катетами. Наклонная сторона — гипотенуза.

$a=10,\quad b=5$

Нижний катет занимает 10 клеток, левый — 5. Сторона каждой клетки равна 1.

$10>5$

Больший катет — нижняя горизонтальная сторона длиной 10. Считать её длину по теореме Пифагора не требуется.

Ответ 10
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: посчитали линии сетки вместо промежутков между ними или выбрали наклонную гипотенузу. Катеты образуют прямой угол.

Тип 2 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

Треугольник ABC на клетчатой бумаге; горизонтальная сторона AC занимает 8 клеток. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$AC=8$

Точки A и C лежат на одной горизонтальной линии сетки. Между ними восемь единичных промежутков.

$m=\dfrac{AC}{2}$

Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и вдвое короче неё.

$m=\dfrac82=4$

Искомая средняя линия имеет длину 4.

Ответ 4
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: выбрали другую сторону или приняли 8 за длину средней линии. Средняя линия равна половине параллельной ей стороны.

Тип 3 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Треугольник на сетке: нижнее основание 6 клеток, верхняя вершина расположена на 3 клетки выше. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$a=6$

Нижняя горизонтальная сторона проходит вдоль шести клеток.

$h=3$

От верхней вершины до линии основания три клетки по вертикали. Это перпендикулярное расстояние, а не наклонная сторона.

$S=\dfrac{ah}{2}$
$S=\dfrac{6\cdot3}{2}=9$

Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты к нему.

Ответ 9
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: умножили основание на наклонную сторону или забыли разделить произведение основания и высоты на 2.

Тип 4 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Трапеция на сетке с горизонтальными основаниями длиной 9 и 1 клетка. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$a=9,\quad b=1$

Параллельные стороны трапеции горизонтальны: нижняя занимает 9 клеток, верхняя — 1 клетку.

$m=\dfrac{a+b}{2}$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Высота для этого не нужна.

$m=\dfrac{9+1}{2}=5$

Сначала складываем оба основания, затем делим сумму на 2.

Ответ 5
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: приняли наклонную боковую сторону за основание или поделили пополам только большее основание.

Тип 5 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Трапеция на клетчатой бумаге: основания 9 и 5 клеток, высота 2 клетки. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$a=9,\quad b=5$

Нижнее основание занимает 9 клеток, верхнее — 5.

$h=2$

Основания лежат на горизонтальных линиях сетки. Расстояние между ними равно двум клеткам.

$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$
$S=\dfrac{9+5}{2}\cdot2=14$

Полусумма оснований равна 7; умножаем её на высоту 2.

Ответ 14
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: посчитали три горизонтальные линии как высоту 3. Между ними только два единичных промежутка, поэтому высота равна 2.

Тип 6 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

Два наклонных отрезка выходят из общей левой вершины; вертикальный AB пересекает их в одной клетке по горизонтали от вершины. Правые концы находятся в четырёх клетках от неё и разделены по вертикали шестью клетками. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$CD=6,\quad AB\parallel CD$

Общую левую вершину обозначим O, правые концы — C и D. Соединим C и D: они находятся на одной вертикали, на расстоянии 6 клеток. AB тоже вертикален.

$h_{AB}=1,\quad h_{CD}=4$
$k=\dfrac{h_{AB}}{h_{CD}}=\dfrac14$

От O до вертикали AB одна клетка по горизонтали, до вертикали CD — четыре. Треугольники OAB и OCD подобны: угол при O общий, а основания параллельны.

$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac14$
$AB=6\cdot\dfrac14=1{,}5$

Соответствующие стороны подобных треугольников относятся так же, как их высоты из общей вершины.

Ответ 1,5
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: округлили координаты точек A и B до ближайших узлов сетки. Эти точки не лежат в узлах; длину AB нужно найти через подобие.

Тип 7 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Две точки на клетчатой бумаге: правая точка на 4 клетки правее и на 3 клетки выше левой. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$a=4,\quad b=3$

От левой нижней точки до правой верхней нужно пройти 4 клетки вправо и 3 вверх.

$d^2=a^2+b^2$
$d^2=4^2+3^2=25$

Искомое расстояние — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3.

$d=\sqrt{25}=5$

Расстояние положительно и равно 5.

Ответ 5
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: сложили горизонтальное и вертикальное перемещения и получили 7. Это длина пути по линиям сетки, а не прямое расстояние.

Тип 8 из 13

Условие

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Два круга на одной сетке: диаметр большого 8 клеток, малого 4 клетки. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$D_1=8,\quad D_2=4$
$r_1=4,\quad r_2=2$

Большой круг занимает 8 клеток по диаметру, малый — 4. Радиусы равны половинам диаметров; единицу длины можно взять равной стороне клетки.

$S=\pi r^2$
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{r_1^2}{r_2^2}$

В отношении множитель π сокращается. Общий размер клетки тоже не влияет на результат.

$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{4^2}{2^2}=4$

Площадь большего круга в 4 раза больше площади меньшего.

Ответ 4
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: ответили 2 — отношение радиусов. Площадь зависит от квадрата радиуса, поэтому она меняется в четыре раза.

Тип 9 из 13

Условие

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Большой круг имеет диаметр 4 клетки. Малый круг описан около квадрата со стороной 2 клетки; радиус направлен по диагонали единичного квадрата. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$r_1=2,\quad r_1^2=4$

Диаметр большого круга занимает 4 клетки. Радиус — половина диаметра.

$r_2^2=1^2+1^2=2$

Центр малого круга находится в узле сетки. Проведи радиус к узлу окружности на одну клетку в сторону и одну вверх: он является диагональю единичного квадрата. Можно также рассмотреть вписанный в малый круг квадрат со стороной 2 клетки.

$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}$
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac42=2$

Для отношения площадей достаточно квадратов радиусов. Вычислять приближённое значение √2 не нужно.

Ответ 2
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: округлили радиус малого круга до целого числа или сравнили радиусы вместо их квадратов. Наклонный радиус равен √2.

Тип 10 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Ромб на клетчатой бумаге: горизонтальная диагональ длиной 10 клеток, вертикальная — 2 клетки. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$d_1\perp d_2$

У этого ромба одна пара противоположных вершин лежит на горизонтали, другая — на вертикали. Мысленно соедини каждую пару.

$d_1=10,\quad d_2=2$

Горизонтальная диагональ занимает 10 клеток, вертикальная — 2.

$10>2$

Длина большей диагонали равна 10.

Ответ 10
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: записали половину диагонали или измеряли наклонную сторону. Диагональ соединяет противоположные вершины целиком.

Тип 11 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Ромб на сетке: вертикальная диагональ 6 клеток, горизонтальная 2 клетки. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$d_1=6,\quad d_2=2$

От верхней вершины до нижней 6 клеток, от левой до правой — 2.

$S=\dfrac{d_1d_2}{2}$

Диагонали ромба перпендикулярны. Его площадь равна половине произведения их длин.

$S=\dfrac{6\cdot2}{2}=6$

Площадь ромба равна 6 квадратным единицам.

Ответ 6
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: перемножили диагонали без деления на 2 или посчитали расстояния только от центра до вершин. Нужны полные диагонали.

Тип 12 из 13

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Параллелограмм на клетчатой бумаге: горизонтальное основание 4 клетки, вертикальная высота 3 клетки. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$a=4$

Нижняя горизонтальная сторона параллелограмма занимает 4 клетки. Верхняя сторона имеет такую же длину.

$h=3$

От нижнего основания до верхнего 3 клетки по вертикали. Высота перпендикулярна основанию.

$S=ah=4\cdot3=12$

У параллелограмма площадь равна произведению основания и высоты без деления на 2.

Ответ 12
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: взяли наклонную боковую сторону за высоту или разделили произведение на 2, как для треугольника.

Тип 13 из 13

Условие

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $BM$ длиннее отрезка $CM$?

Треугольник ABC на сетке; M лежит на BC. Горизонтальное смещение от B до M — 2 клетки, от M до C — 1 клетка. Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$x_{BM}=2,\quad x_{CM}=1$

Вертикали через B и M разделены двумя клетками, через M и C — одной. Точка M не обязана лежать в узле сетки.

$\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{x_{BM}}{x_{CM}}$

Оба отрезка лежат на BC и имеют одинаковый наклон. Если достроить прямоугольные треугольники с горизонтальными катетами, они будут подобны, поэтому гипотенузы и их проекции относятся одинаково.

$\dfrac{BM}{CM}=\dfrac21=2$

BM длиннее CM в 2 раза. В вопросе «во сколько раз» требуется отношение, а не разность длин.

Ответ 2
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: предположили, что M — середина BC, или считали клетки вдоль наклонной стороны. Сравни горизонтальные проекции: они равны 2 и 1.

Частые ошибки в задании 18

Почти все потерянные баллы в номере 18 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.

Подсчёт клеток Посчитали линии вместо промежутков

Между концами отрезка увидели шесть линий сетки и записали длину 6, хотя между ними только пять клеток.

Считай единичные отрезки между соседними линиями. Учитывай размер клетки из условия.
Основание и высота Приняли наклонную сторону за высоту

Умножили горизонтальное основание на длину наклонной стороны или посчитали клетки по диагонали.

Высота перпендикулярна основанию. Для горизонтального основания считай вертикальное расстояние до вершины или параллельной стороны.
Формула площади Забыли или добавили лишнее деление на 2

Перепутали площадь треугольника с параллелограммом или перемножили диагонали ромба без деления пополам.

Треугольник: S = ah/2. Параллелограмм: S = ah. Трапеция: S = (a + b)h/2. Ромб: S = d₁d₂/2.
Наклонные отрезки Округлили точки до узлов сетки

Точки A, B или M не попали в пересечения линий сетки, и их положение округлили на глаз.

Не меняй положение точек. Ищи параллельные отрезки, подобные треугольники или проекции на линии сетки. Наклонное расстояние между узлами находи по теореме Пифагора.
Отношения Сравнили радиусы вместо площадей

При двукратном увеличении радиуса решили, что площадь круга тоже увеличилась вдвое.

Площадь круга S = πr², поэтому отношение площадей равно квадрату отношения радиусов. В вопросе «во сколько раз» дели большую величину на меньшую.

Вопросы про задание 18

Считай промежутки между соседними линиями сетки, а не сами линии. Если клетка 1 × 1, горизонтальный или вертикальный отрезок через пять клеток имеет длину 5. Наклонный отрезок нельзя измерять количеством клеток, которые он пересекает.
Выбери основание и перпендикулярную высоту, которые удобно посчитать по сетке. Для треугольника S = ah/2, для параллелограмма S = ah, для трапеции S = (a + b)h/2. У ромба удобно измерить диагонали и применить S = d₁d₂/2.
Посчитай смещение по горизонтали и вертикали: это катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между точками равно квадратному корню из суммы их квадратов. Например, при смещениях 4 и 3 получаем √(4² + 3²) = 5.
Не округляй её положение. Посмотри, лежит ли она на известной стороне и пересекает ли её вертикаль или горизонталь сетки. Через подобие и отношения проекций можно найти длину или отношение отрезков точно, даже если их концы не лежат в узлах.
Отношение площадей равно отношению квадратов радиусов: S₁/S₂ = r₁²/r₂². Если радиус направлен по диагонали клетки, его квадрат можно найти по теореме Пифагора. Вычислять число π и приближённые квадратные корни обычно не нужно.
Искомое число без единиц измерения: например, длину 10, площадь 9 или отношение 2. Десятичную дробь записывай с запятой: 1,5. Перед ответом проверь, спрашивают длину, площадь, среднюю линию или отношение величин.

Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT проконтроллирует

Пиши решение на доске, как в тетради. ИИ видит каждую строчку по мере появления и подсказывает ровно там, где ты свернул не туда — не решает за тебя.

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Демонстрация: ученик решает геометрическую задачу ОГЭ с окружностью, правильно находит первый угол и спрашивает, как продолжить. ClassGPT считывает чертёж, выделяет два радиуса и наводит ученика на свойство равнобедренного треугольника.

Разборы других заданий ОГЭ по математике

Часть 1 — задания 1–19, часть 2 — задания 20–25. Выбери номер, чтобы перейти к его разборам.

№ 1–5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11 № 12 № 13 № 14 № 15 № 16 № 17 № 18 № 19 № 20 № 21 № 22 № 23 № 24 № 25