К выбору номера задания
Часть 1 · № 8 1 балл

Разбор 8 задания ОГЭ по математике

Задание 8 — на знание свойств степеней и квадратных корней. Нужно упростить выражение по формулам и вычислить его точное значение — без калькулятора, только правильным порядком действий. Развёрнутое решение не нужно, но 1 балл ставят только за полностью верный числовой ответ.

Задача 1

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{50} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{50}=\sqrt{5^2\cdot 2}=5\sqrt{2}$

Число 50 представляем как 25 · 2; корень из 25 равен 5.

$5\sqrt{2}+\sqrt{2}=(5+1)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{50} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6\cdot 2=12$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 12
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 2

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{12} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\cdot 3}=2\sqrt{3}$

Число 12 представляем как 4 · 3; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=1\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{12} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=1\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=1\cdot 3=3$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 3
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 3

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}=3\sqrt{5}$

Число 45 представляем как 9 · 5; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=(3-1)\sqrt{5}=2\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=2\cdot 5=10$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 10
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 4

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{125} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{125}=\sqrt{5^2\cdot 5}=5\sqrt{5}$

Число 125 представляем как 25 · 5; корень из 25 равен 5.

$5\sqrt{5}-\sqrt{5}=(5-1)\sqrt{5}=4\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{125} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=4\cdot 5=20$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 20
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 5

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{18} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{18}=\sqrt{3^2\cdot 2}=3\sqrt{2}$

Число 18 представляем как 9 · 2; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{2}+\sqrt{2}=(3+1)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{18} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\cdot 2=8$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 8
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 6

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{63} + \sqrt{7}) \cdot \sqrt{7}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{63}=\sqrt{3^2\cdot 7}=3\sqrt{7}$

Число 63 представляем как 9 · 7; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{7}+\sqrt{7}=(3+1)\sqrt{7}=4\sqrt{7}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{63} + \sqrt{7}) \cdot \sqrt{7}=4\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=4\cdot 7=28$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 28
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 7

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{20} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{20}=\sqrt{2^2\cdot 5}=2\sqrt{5}$

Число 20 представляем как 4 · 5; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=(2-1)\sqrt{5}=1\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{20} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=1\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=1\cdot 5=5$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 5
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 8

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{8} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{8}=\sqrt{2^2\cdot 2}=2\sqrt{2}$

Число 8 представляем как 4 · 2; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=1\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{8} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=1\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=1\cdot 2=2$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 2
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 9

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{27} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{27}=\sqrt{3^2\cdot 3}=3\sqrt{3}$

Число 27 представляем как 9 · 3; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{3}+\sqrt{3}=(3+1)\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{27} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=4\cdot 3=12$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 12
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 10

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{48} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{48}=\sqrt{4^2\cdot 3}=4\sqrt{3}$

Число 48 представляем как 16 · 3; корень из 16 равен 4.

$4\sqrt{3}+\sqrt{3}=(4+1)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{48} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=5\cdot 3=15$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 15
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 11

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{32} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{32}=\sqrt{4^2\cdot 2}=4\sqrt{2}$

Число 32 представляем как 16 · 2; корень из 16 равен 4.

$4\sqrt{2}+\sqrt{2}=(4+1)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{32} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=5\cdot 2=10$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 10
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 12

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{54} - \sqrt{6}) \cdot \sqrt{6}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{54}=\sqrt{3^2\cdot 6}=3\sqrt{6}$

Число 54 представляем как 9 · 6; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{6}-\sqrt{6}=(3-1)\sqrt{6}=2\sqrt{6}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{54} - \sqrt{6}) \cdot \sqrt{6}=2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=2\cdot 6=12$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 12
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 13

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{125} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{125}=\sqrt{5^2\cdot 5}=5\sqrt{5}$

Число 125 представляем как 25 · 5; корень из 25 равен 5.

$5\sqrt{5}+\sqrt{5}=(5+1)\sqrt{5}=6\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{125} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=6\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=6\cdot 5=30$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 30
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 14

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{32} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{32}=\sqrt{4^2\cdot 2}=4\sqrt{2}$

Число 32 представляем как 16 · 2; корень из 16 равен 4.

$4\sqrt{2}-\sqrt{2}=(4-1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{32} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=3\cdot 2=6$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 6
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 15

Тип 11
Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{20} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$
Источник: Банк ФИПИ
Ход решения
$\sqrt{20}=\sqrt{2^2\cdot 5}=2\sqrt{5}$

Число 20 представляем как 4 · 5; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{5}+\sqrt{5}=(2+1)\sqrt{5}=3\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{20} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=3\cdot 5=15$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 15
Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Частые ошибки в задании 8

Почти все потерянные баллы в номере 8 — это пять повторяющихся сюжетов. Ответ не сошёлся, а где свернул не туда — непонятно: обычно это одна из этих ошибок.

Степени Сложили показатели вместо умножения (и наоборот)

При возведении степени в степень (aᵐ)ⁿ показатели нужно перемножить, а при умножении степеней aᵐ·aⁿ — сложить. Эти два правила часто путают местами, особенно если в примере встречаются оба действия подряд.

(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ — степень в степени, показатели перемножаются. aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ — умножение, показатели складываются.
Знаки Ошиблись в знаке при отрицательном показателе

При вычитании отрицательного показателя (например, −21−(−23)) теряют минус и получают неверный результат — вместо +2 выходит −44.

Замени вычитание отрицательного числа на прибавление положительного: a−(−b)=a+b — и считай по шагам, не в уме.
Корни Извлекли корень из каждого числа отдельно

Вместо того чтобы сначала объединить произведение или частное корней под одним знаком (√a·√b=√(ab)), пытаются вычислить или оценить каждый корень отдельно — это либо невозможно без калькулятора, либо приводит к погрешности.

Сначала объедини все корни под одним знаком по формулам √a·√b=√(ab) и √a/√b=√(a/b), и только потом извлекай итоговый корень.
Основание Не разложили составное основание на простые множители

Если основание степени — составное число (например, 15=3·5 или 4=2²), без разложения на простые множители сократить дробь со степенями не получится.

Раскладывай любое составное основание на простые множители до начала действий со степенями.
Чётный корень Забыли про модуль при чётном корне из квадрата

Формула √(x²)=|x|, а не просто x — если под корнем стоит квадрат выражения, которое может быть отрицательным (например, a−5b), нужно поставить знак модуля и подставить числа только после этого.

При извлечении корня чётной степени из квадрата всегда пиши √(x²)=|x| и лишь потом подставляй числа, определяя знак результата.

Вопросы про задание 8

Максимум 1 балл — только за полностью верный числовой ответ. Задание 8 из части 1 с кратким ответом: развёрнутое решение на бланке записывать не нужно.
В банке ФИПИ 25 типов: действия со степенями (умножение, деление, степень в степени, степень произведения), действия с квадратными корнями, и оба этих навыка вместе с подстановкой числового значения переменной. Выбери тип кнопкой над задачами или решай все типы вперемешку. У каждой задачи есть пошаговый разбор.
Нет — калькулятор на ОГЭ недоступен. Все примеры задания 8 построены так, что при правильном применении свойств степеней и корней ответ получается точным целым числом или конечной десятичной дробью без громоздких вычислений.
Свойства степеней: aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, aᵐ:aⁿ=aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, a⁻ⁿ=1/aⁿ. Свойства корней: √a·√b=√(ab), √a/√b=√(a/b), (√a)²=a, √(a²)=|a|.
Обычно 1–2 минуты. Если вычисления занимают заметно больше времени или числа быстро растут, стоит проверить, нельзя ли сначала упростить выражение по формулам и перепроверить порядок действий.

Разбор прочитан. Теперь реши сам, а ClassGPT проконтроллирует

Пиши решение на доске, как в тетради. ИИ видит каждую строчку по мере появления и подсказывает ровно там, где ты свернул не туда — не решает за тебя.

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Демонстрация: ученик решает геометрическую задачу ОГЭ с окружностью, правильно находит первый угол и спрашивает, как продолжить. ClassGPT считывает чертёж, выделяет два радиуса и наводит ученика на свойство равнобедренного треугольника.

Разборы других заданий ОГЭ по математике

Часть 1 — задания 1–19, часть 2 — задания 20–25. Выбери номер, чтобы перейти к его разборам.

№ 1–5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11 № 12 № 13 № 14 № 15 № 16 № 17 № 18 № 19 № 20 № 21 № 22 № 23 № 24 № 25