Сколько баллов даёт задание 8 ОГЭ по математике?

Максимум 1 балл — только за полностью верный числовой ответ. Задание 8 из части 1 с кратким ответом: развёрнутое решение на бланке записывать не нужно.

Какие типы примеров встречаются в номере 8?

В банке ФИПИ 25 типов: действия со степенями (умножение, деление, степень в степени, степень произведения), действия с квадратными корнями, и оба этих навыка вместе с подстановкой числового значения переменной. Выбери тип кнопкой над задачами или решай все типы вперемешку. У каждой задачи есть пошаговый разбор.

Нужно ли пользоваться калькулятором?

Нет — калькулятор на ОГЭ недоступен. Все примеры задания 8 построены так, что при правильном применении свойств степеней и корней ответ получается точным целым числом или конечной десятичной дробью без громоздких вычислений.

Какие формулы важно знать для задания 8?

Свойства степеней: aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, aᵐ:aⁿ=aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, a⁻ⁿ=1/aⁿ. Свойства корней: √a·√b=√(ab), √a/√b=√(a/b), (√a)²=a, √(a²)=|a|.

Сколько времени отводить на номер 8?

Обычно 1–2 минуты. Если вычисления занимают заметно больше времени или числа быстро растут, стоит проверить, нельзя ли сначала упростить выражение по формулам и перепроверить порядок действий.

Разбор 8 задания ОГЭ по математике: 25 типов с решениями

Задача 1

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{15^8}{3^6 \cdot 5^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$15=3\cdot 5$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{15^8}{3^6 \cdot 5^7}=3^{8-6}\cdot 5^{8-7}$

$3^{8-6}\cdot 5^{8-7}=3^{2}\cdot 5^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}\cdot 5^{1}=9\cdot 5=45$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 45

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 2

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^9}{16}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$16=2^{4}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{2^9}{16}=2^{9-4}$

$2^{9-4}=2^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{5}=32=32$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 3

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(8^3)^{-7}}{8^{-23}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(8^{3})^{-7}=8^{3\cdot(-7)}=8^{-21}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(8^3)^{-7}}{8^{-23}}=8^{-21+23}$

$8^{-21+23}=8^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$8^{2}=64=64$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 4

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$3^{-8} \cdot (3^6)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3^{6})^{2}=3^{6\cdot(2)}=3^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$3^{-8} \cdot (3^6)^2=3^{-8+12}$

$3^{-8+12}=3^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{4}=81=81$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 5

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3 \cdot 8)^7}{3^7 \cdot 8^5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot 8)^{7}=3^{7}\cdot8^{7}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(3 \cdot 8)^7}{3^7 \cdot 8^5}=3^{7-7}\cdot 8^{7-5}$

$3^{7-7}\cdot 8^{7-5}=3^{0}\cdot 8^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{0}\cdot 8^{2}=1\cdot 64=64$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 6

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{7^{-14}} \cdot \dfrac{1}{7^{13}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{7^{-14}}=7^{14}$

$\dfrac{1}{7^{13}}=7^{-13}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{7^{-14}} \cdot \dfrac{1}{7^{13}}=7^{14-13}$

$7^{14-13}=7^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$7^{1}=7=7$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 7

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{22} \cdot \sqrt{33}}{\sqrt{6}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{22}\cdot\sqrt{33}=\sqrt{22\cdot 33}=\sqrt{726}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{22} \cdot \sqrt{33}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{726}{6}}=\sqrt{121}$

Делитель √6 положителен. Под корнем делим 726 на 6.

$\sqrt{121}=11$

$(11)^2=121$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 8

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{90}{(3\sqrt{5})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot \sqrt{5})^{2}=3^2\cdot 5=45$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{90}{(3\sqrt{5})^2}=\dfrac{90}{45}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{90}{45}=2$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 9

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$5\sqrt{7} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\sqrt{7} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}=30\cdot\sqrt{7\cdot 3\cdot 21}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{7\cdot 3\cdot 21}=\sqrt{441}=21$

$(21)^2=441$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$30\cdot 21=630$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 630

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 10

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{4^5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4^{5}=1024$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{4^5}=\sqrt{1024}=32$

$(32)^2=1024$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 11

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{50} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{50}=\sqrt{5^2\cdot 2}=5\sqrt{2}$

Число 50 представляем как 25 · 2; корень из 25 равен 5.

$5\sqrt{2}+\sqrt{2}=(5+1)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{50} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6\cdot 2=12$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 12

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{7 \cdot 45} \cdot \sqrt{35}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{7 \cdot 45} \cdot \sqrt{35}=1\cdot\sqrt{315\cdot 35}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{315\cdot 35}=\sqrt{11025}=105$

$(105)^2=11025$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 105=105$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 105

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 13

Тип 13

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{4 + \sqrt{15}} + \dfrac{1}{4 - \sqrt{15}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(4+\sqrt{15})(4-(\sqrt{15}))=1$

Сопряжённые множители отличаются знаком между слагаемыми. Их произведение равно квадрату первого слагаемого минус квадрат второго. Знаменатель ненулевой.

$(4-(\sqrt{15}))+(4+\sqrt{15})=8$

У первой дроби дополнительный множитель равен второму знаменателю, у второй — первому. При вычитании меняются знаки всех слагаемых в скобках.

$\dfrac{1}{4 + \sqrt{15}} + \dfrac{1}{4 - \sqrt{15}}=\dfrac{8}{1}=8$

Делим полученный числитель на общий знаменатель.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 14

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{13} - 3)^2 + 6\sqrt{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{13}-(3))^{2}=13-6\sqrt{13}+9$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{13} - 3)^2 + 6\sqrt{13}=13-6\sqrt{13}+9+6\cdot \sqrt{13}=13+9$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$13+9=22$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 22

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 15

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{17} - 3)(\sqrt{17} + 3)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{17} - 3)(\sqrt{17} + 3)=(\sqrt{17})^{2}-(3)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{17})^{2}=17$

$(3)^{2}=9$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$17-9=8$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 16

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{21} \cdot a^{-8} : a^{11}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{21} \cdot a^{-8} : a^{11}=a^{21-8-11}$

$a^{21-8-11}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 17

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^5)^{-2} \cdot a^{13} : a^{-4}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{5})^{-2}=a^{5\cdot(-2)}=a^{-10}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^5)^{-2} \cdot a^{13} : a^{-4}=a^{-10+13+4}$

$a^{-10+13+4}=a^{7}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{7}=a^{7}$

$a^{7}=(2)^{7}=128$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 128

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 18

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{17} \cdot a^{-6}}{a^9}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{17} \cdot a^{-6}}{a^9}=a^{17-6-9}$

$a^{17-6-9}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(4)^{2}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 19

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^8)^2}{a^{11}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{8})^{2}=a^{8\cdot(2)}=a^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^8)^2}{a^{11}}=a^{16-11}$

$a^{16-11}=a^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 20

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{21} \cdot (b^9)^2}{(a \cdot b)^{18}}$

При $a=5{,}\quad b=\sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{9})^{2}=b^{9\cdot(2)}=b^{18}$

$(a\cdot b)^{18}=a^{18}\cdotb^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{21} \cdot (b^9)^2}{(a \cdot b)^{18}}=a^{21-18}\cdot b^{18-18}$

$a^{21-18}\cdot b^{18-18}=a^{3}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}\cdot b^{0}=a^{3}$

$a^{3}=(5)^{3}=125$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 21

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{25a^{19}}{a^{11}}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{25\cdot a^{19}}{a^{11}}=25 a^{8}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{25a^{19}}{a^{11}}}=5\cdot |a^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$5\cdot |a^{4}|=5 a^{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$5 a^{4}=5 (2)^{4}=80$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 80

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 22

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{16x^8}{y^6}}$

При $x=2{,}\quad y=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{16\cdot x^{8}}{y^{6}}=\dfrac{16 x^{8}}{y^{6}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{16x^8}{y^6}}=4\cdot |\dfrac{x^{4}}{y^{3}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$4\cdot |\dfrac{x^{4}}{y^{3}}|=\dfrac{4 x^{4}}{y^{3}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{4 x^{4}}{y^{3}}=\dfrac{4 (2)^{4}}{(4)^{3}}=1$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 23

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot x^2y^6}$

При $x=7{,}\quad y=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{9}\cdot x^{2}\cdot y^{6}=\dfrac{x^{2} y^{6}}{9}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot x^2y^6}=\dfrac{1}{3}\cdot |x y^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{3}\cdot |x y^{3}|=\dfrac{x y^{3}}{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x y^{3}}{3}=\dfrac{(7) (3)^{3}}{3}=63$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 63

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 24

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^2}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{8}=a^{8}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{8}\cdot a^{2}=a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^2}=1\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{5}|=a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 25

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 - 10ab + 25b^2}$

При $a=7{,}\quad b=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}-(10\cdot a\cdot b)+25\cdot b^{2}=(a - 5 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 - 10ab + 25b^2}=|a - 5 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a - 5 b=(7) - 5 (2)=-3$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-3|=3$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 26

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^{-3} \cdot 2^{19}}{2^{13}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{2^{-3} \cdot 2^{19}}{2^{13}}=2^{-3+19-13}$

$2^{-3+19-13}=2^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}=8=8$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 27

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{3^5}{27}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$27=3^{3}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{3^5}{27}=3^{5-3}$

$3^{5-3}=3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}=9=9$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 28

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3^4)^{-3}}{3^{-15}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3^{4})^{-3}=3^{4\cdot(-3)}=3^{-12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(3^4)^{-3}}{3^{-15}}=3^{-12+15}$

$3^{-12+15}=3^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{3}=27=27$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 29

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$11^{-5} \cdot (11^3)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(11^{3})^{2}=11^{3\cdot(2)}=11^{6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$11^{-5} \cdot (11^3)^2=11^{-5+6}$

$11^{-5+6}=11^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$11^{1}=11=11$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 30

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2 \cdot 3)^5}{2^4 \cdot 3^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot 3)^{5}=2^{5}\cdot3^{5}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2 \cdot 3)^5}{2^4 \cdot 3^3}=2^{5-4}\cdot 3^{5-3}$

$2^{5-4}\cdot 3^{5-3}=2^{1}\cdot 3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{1}\cdot 3^{2}=2\cdot 9=18$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 18

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 31

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{2^{-19}} \cdot \dfrac{1}{2^{16}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{2^{-19}}=2^{19}$

$\dfrac{1}{2^{16}}=2^{-16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{2^{-19}} \cdot \dfrac{1}{2^{16}}=2^{19-16}$

$2^{19-16}=2^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}=8=8$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 32

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{51} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{17}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{51}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{51\cdot 12}=\sqrt{612}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{51} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{17}}=\sqrt{\dfrac{612}{17}}=\sqrt{36}$

Делитель √17 положителен. Под корнем делим 612 на 17.

$\sqrt{36}=6$

$(6)^2=36$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 33

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(4\sqrt{3})^2}{60}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(4\cdot \sqrt{3})^{2}=4^2\cdot 3=48$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(4\sqrt{3})^2}{60}=\dfrac{48}{60}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{48}{60}=\dfrac{4}{5}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{4}{5}=0{,}8$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 34

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$4\sqrt{17} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{34}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4\sqrt{17} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{34}=20\cdot\sqrt{17\cdot 2\cdot 34}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{17\cdot 2\cdot 34}=\sqrt{1156}=34$

$(34)^2=1156$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$20\cdot 34=680$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 680

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 35

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{5^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5^{6}=15625$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{5^6}=\sqrt{15625}=125$

$(125)^2=15625$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 36

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{12} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\cdot 3}=2\sqrt{3}$

Число 12 представляем как 4 · 3; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=1\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{12} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=1\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=1\cdot 3=3$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 37

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{3 \cdot 32} \cdot \sqrt{6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{3 \cdot 32} \cdot \sqrt{6}=1\cdot\sqrt{96\cdot 6}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{96\cdot 6}=\sqrt{576}=24$

$(24)^2=576$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 24=24$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 24

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 38

Тип 13

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{\sqrt{17} - 4} - \dfrac{1}{\sqrt{17} + 4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{17}-(4))(\sqrt{17}+4)=1$

Сопряжённые множители отличаются знаком между слагаемыми. Их произведение равно квадрату первого слагаемого минус квадрат второго. Знаменатель ненулевой.

$(\sqrt{17}+4)-(\sqrt{17}-(4))=8$

У первой дроби дополнительный множитель равен второму знаменателю, у второй — первому. При вычитании меняются знаки всех слагаемых в скобках.

$\dfrac{1}{\sqrt{17} - 4} - \dfrac{1}{\sqrt{17} + 4}=\dfrac{8}{1}=8$

Делим полученный числитель на общий знаменатель.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 39

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{11} + 3)^2 - 6\sqrt{11}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{11}+3)^{2}=11+6\sqrt{11}+9$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{11} + 3)^2 - 6\sqrt{11}=11+6\sqrt{11}+9-6\cdot \sqrt{11}=11+9$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$11+9=20$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 40

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{19} - \sqrt{2})(\sqrt{19} + \sqrt{2})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{19} - \sqrt{2})(\sqrt{19} + \sqrt{2})=(\sqrt{19})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{19})^{2}=19$

$(\sqrt{2})^{2}=2$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$19-2=17$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 17

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 41

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^8 \cdot a^{17} : a^{20}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^8 \cdot a^{17} : a^{20}=a^{8+17-20}$

$a^{8+17-20}=a^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 42

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-13} \cdot (a^8)^2$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{8})^{2}=a^{8\cdot(2)}=a^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-13} \cdot (a^8)^2=a^{-13+16}$

$a^{-13+16}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 43

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^9 \cdot a^{12}}{a^{18}}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^9 \cdot a^{12}}{a^{18}}=a^{9+12-18}$

$a^{9+12-18}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(4)^{3}=64$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 44

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^7)^2}{a^{12}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{7})^{2}=a^{7\cdot(2)}=a^{14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^7)^2}{a^{12}}=a^{14-12}$

$a^{14-12}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 45

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}$

При $a=2{,}\quad b=\sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{5})^{4}=b^{5\cdot(4)}=b^{20}$

$(a\cdot b)^{20}=a^{20}\cdotb^{20}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}=a^{23-20}\cdot b^{20-20}$

$a^{23-20}\cdot b^{20-20}=a^{3}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}\cdot b^{0}=a^{3}$

$a^{3}=(2)^{3}=8$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 46

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{16a^{14}}{a^8}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{16\cdot a^{14}}{a^{8}}=16 a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{16a^{14}}{a^8}}=4\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$4\cdot |a^{3}|=4 a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$4 a^{3}=4 (3)^{3}=108$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 108

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 47

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{16x^4}{y^6}}$

При $x=4{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{16\cdot x^{4}}{y^{6}}=\dfrac{16 x^{4}}{y^{6}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{16x^4}{y^6}}=4\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{3}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$4\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{3}}|=\dfrac{4 x^{2}}{y^{3}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{4 x^{2}}{y^{3}}=\dfrac{4 (4)^{2}}{(2)^{3}}=8$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 48

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot x^6y^4}$

При $x=2{,}\quad y=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{16}\cdot x^{6}\cdot y^{4}=\dfrac{x^{6} y^{4}}{16}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot x^6y^4}=\dfrac{1}{4}\cdot |x^{3} y^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{4}\cdot |x^{3} y^{2}|=\dfrac{x^{3} y^{2}}{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{3} y^{2}}{4}=\dfrac{(2)^{3} (5)^{2}}{4}=50$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 50

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 49

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^2}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{8}=a^{8}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{8}\cdot a^{2}=a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^2}=1\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{5}|=a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 50

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}$

При $a=3\dfrac{3}{7}{,}\quad b=\dfrac{1}{7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+8\cdot a\cdot b+16\cdot b^{2}=(a + 4 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}=|a + 4 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 4 b=(\dfrac{24}{7}) + 4 (\dfrac{1}{7})=4$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|4|=4$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 51

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{5^9 \cdot 8^{11}}{40^9}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8=2^{3}$

$40=2^{3}\cdot 5$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{5^9 \cdot 8^{11}}{40^9}=2^{33-27}\cdot 5^{9-9}$

$2^{33-27}\cdot 5^{9-9}=2^{6}\cdot 5^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{6}\cdot 5^{0}=1\cdot 64=64$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 52

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{5^5}{25}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$25=5^{2}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{5^5}{25}=5^{5-2}$

$5^{5-2}=5^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{3}=125=125$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 53

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2^9)^{-3}}{2^{-29}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2^{9})^{-3}=2^{9\cdot(-3)}=2^{-27}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2^9)^{-3}}{2^{-29}}=2^{-27+29}$

$2^{-27+29}=2^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}=4=4$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 54

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$2^{-7} \cdot (2^4)^3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2^{4})^{3}=2^{4\cdot(3)}=2^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$2^{-7} \cdot (2^4)^3=2^{-7+12}$

$2^{-7+12}=2^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{5}=32=32$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 55

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(4 \cdot 5)^7}{4^5 \cdot 5^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(4\cdot 5)^{7}=4^{7}\cdot5^{7}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(4 \cdot 5)^7}{4^5 \cdot 5^7}=4^{7-5}\cdot 5^{7-7}$

$4^{7-5}\cdot 5^{7-7}=4^{2}\cdot 5^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$4^{2}\cdot 5^{0}=16\cdot 1=16$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 56

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{3^{-8}} \cdot \dfrac{1}{3^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{3^{-8}}=3^{8}$

$\dfrac{1}{3^{7}}=3^{-7}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{3^{-8}} \cdot \dfrac{1}{3^7}=3^{8-7}$

$3^{8-7}=3^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{1}=3=3$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 57

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{75}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{75\cdot 10}=\sqrt{750}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}}=\sqrt{\dfrac{750}{30}}=\sqrt{25}$

Делитель √30 положителен. Под корнем делим 750 на 30.

$\sqrt{25}=5$

$(5)^2=25$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 58

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{200}{(2\sqrt{5})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{5})^{2}=2^2\cdot 5=20$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{200}{(2\sqrt{5})^2}=\dfrac{200}{20}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{200}{20}=10$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 59

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{22}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{22}=10\cdot\sqrt{11\cdot 2\cdot 22}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{11\cdot 2\cdot 22}=\sqrt{484}=22$

$(22)^2=484$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$10\cdot 22=220$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 220

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 60

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{8^4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8^{4}=4096$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{8^4}=\sqrt{4096}=64$

$(64)^2=4096$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 61

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}=3\sqrt{5}$

Число 45 представляем как 9 · 5; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=(3-1)\sqrt{5}=2\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=2\cdot 5=10$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 62

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{13 \cdot 18} \cdot \sqrt{26}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{13 \cdot 18} \cdot \sqrt{26}=1\cdot\sqrt{234\cdot 26}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{234\cdot 26}=\sqrt{6084}=78$

$(78)^2=6084$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 78=78$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 78

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 63

Тип 13

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{\sqrt{10} - 3} - \dfrac{1}{\sqrt{10} + 3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{10}-(3))(\sqrt{10}+3)=1$

Сопряжённые множители отличаются знаком между слагаемыми. Их произведение равно квадрату первого слагаемого минус квадрат второго. Знаменатель ненулевой.

$(\sqrt{10}+3)-(\sqrt{10}-(3))=6$

У первой дроби дополнительный множитель равен второму знаменателю, у второй — первому. При вычитании меняются знаки всех слагаемых в скобках.

$\dfrac{1}{\sqrt{10} - 3} - \dfrac{1}{\sqrt{10} + 3}=\dfrac{6}{1}=6$

Делим полученный числитель на общий знаменатель.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 64

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{15} - 2)^2 + 4\sqrt{15}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{15}-(2))^{2}=15-4\sqrt{15}+4$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{15} - 2)^2 + 4\sqrt{15}=15-4\sqrt{15}+4+4\cdot \sqrt{15}=15+4$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$15+4=19$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 19

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 65

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})=(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{5})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{7})^{2}=7$

$(\sqrt{5})^{2}=5$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$7-5=2$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 66

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^6 \cdot a^{19} : a^{22}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^6 \cdot a^{19} : a^{22}=a^{6+19-22}$

$a^{6+19-22}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 67

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^7)^{-2} : a^{-18}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{7})^{-2}=a^{7\cdot(-2)}=a^{-14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^7)^{-2} : a^{-18}=a^{-14+18}$

$a^{-14+18}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 68

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{12} \cdot a^6}{a^{14}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{12} \cdot a^6}{a^{14}}=a^{12+6-14}$

$a^{12+6-14}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(3)^{4}=81$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 69

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^3)^5 \cdot a^6}{a^{19}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{5}=a^{3\cdot(5)}=a^{15}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^3)^5 \cdot a^6}{a^{19}}=a^{15+6-19}$

$a^{15+6-19}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 70

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{14} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}}$

При $a=3{,}\quad b=\sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{4})^{3}=b^{4\cdot(3)}=b^{12}$

$(a\cdot b)^{12}=a^{12}\cdotb^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{14} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}}=a^{14-12}\cdot b^{12-12}$

$a^{14-12}\cdot b^{12-12}=a^{2}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}\cdot b^{0}=a^{2}$

$a^{2}=(3)^{2}=9$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 71

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{4a^{20}}{a^{14}}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{4\cdot a^{20}}{a^{14}}=4 a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{4a^{20}}{a^{14}}}=2\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$2\cdot |a^{3}|=2 a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$2 a^{3}=2 (3)^{3}=54$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 54

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 72

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{9x^4}{y^2}}$

При $x=2{,}\quad y=6$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{9\cdot x^{4}}{y^{2}}=\dfrac{9 x^{4}}{y^{2}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{9x^4}{y^2}}=3\cdot |\dfrac{x^{2}}{y}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$3\cdot |\dfrac{x^{2}}{y}|=\dfrac{3 x^{2}}{y}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{3 x^{2}}{y}=\dfrac{3 (2)^{2}}{(6)}=2$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 73

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot x^8y^4}$

При $x=2{,}\quad y=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{4}\cdot x^{8}\cdot y^{4}=\dfrac{x^{8} y^{4}}{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot x^8y^4}=\dfrac{1}{2}\cdot |x^{4} y^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{2}\cdot |x^{4} y^{2}|=\dfrac{x^{4} y^{2}}{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{4} y^{2}}{2}=\dfrac{(2)^{4} (3)^{2}}{2}=72$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 72

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 74

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{2}\cdot (-(a))^{2}=a^{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2}=1\cdot |a^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{2}|=a^{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{2}=(4)^{2}=16$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 75

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{36a^2 + 12ab + b^2}$

При $a=\dfrac{4}{5}{,}\quad b=8\dfrac{1}{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$36\cdot a^{2}+12\cdot a\cdot b+b^{2}=(6 a + b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{36a^2 + 12ab + b^2}=|6 a + b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$6 a + b=6 (\dfrac{4}{5}) + (\dfrac{41}{5})=13$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|13|=13$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 13

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 76

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{7^{-3} \cdot 7^{13}}{7^8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{7^{-3} \cdot 7^{13}}{7^8}=7^{-3+13-8}$

$7^{-3+13-8}=7^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$7^{2}=49=49$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 77

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{4^4}{64}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4=2^{2}$

$64=2^{6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{4^4}{64}=2^{8-6}$

$2^{8-6}=2^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}=4=4$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 78

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2^{11})^{-2}}{2^{-26}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2^{11})^{-2}=2^{11\cdot(-2)}=2^{-22}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2^{11})^{-2}}{2^{-26}}=2^{-22+26}$

$2^{-22+26}=2^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{4}=16=16$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 79

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$5^{-7} \cdot (5^5)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(5^{5})^{2}=5^{5\cdot(2)}=5^{10}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$5^{-7} \cdot (5^5)^2=5^{-7+10}$

$5^{-7+10}=5^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{3}=125=125$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 80

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2 \cdot 5)^6}{2^4 \cdot 5^5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot 5)^{6}=2^{6}\cdot5^{6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2 \cdot 5)^6}{2^4 \cdot 5^5}=2^{6-4}\cdot 5^{6-5}$

$2^{6-4}\cdot 5^{6-5}=2^{2}\cdot 5^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}\cdot 5^{1}=4\cdot 5=20$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 81

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{5^{-11}} \cdot \dfrac{1}{5^{10}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{5^{-11}}=5^{11}$

$\dfrac{1}{5^{10}}=5^{-10}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{5^{-11}} \cdot \dfrac{1}{5^{10}}=5^{11-10}$

$5^{11-10}=5^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{1}=5=5$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 82

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{12}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{32}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{32\cdot 6}=\sqrt{192}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\dfrac{192}{12}}=\sqrt{16}$

Делитель √12 положителен. Под корнем делим 192 на 12.

$\sqrt{16}=4$

$(4)^2=16$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 83

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2\sqrt{5})^2}{160}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{5})^{2}=2^2\cdot 5=20$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(2\sqrt{5})^2}{160}=\dfrac{20}{160}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{20}{160}=\dfrac{1}{8}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{1}{8}=0{,}125$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 84

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}=12\cdot\sqrt{5\cdot 3\cdot 15}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{5\cdot 3\cdot 15}=\sqrt{225}=15$

$(15)^2=225$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$12\cdot 15=180$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 180

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 85

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{9^4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9^{4}=6561$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{9^4}=\sqrt{6561}=81$

$(81)^2=6561$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 86

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{125} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{125}=\sqrt{5^2\cdot 5}=5\sqrt{5}$

Число 125 представляем как 25 · 5; корень из 25 равен 5.

$5\sqrt{5}-\sqrt{5}=(5-1)\sqrt{5}=4\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{125} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=4\cdot 5=20$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 87

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{5 \cdot 18} \cdot \sqrt{10}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{5 \cdot 18} \cdot \sqrt{10}=1\cdot\sqrt{90\cdot 10}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{90\cdot 10}=\sqrt{900}=30$

$(30)^2=900$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 30=30$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 30

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 88

Тип 13

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{3 + \sqrt{8}} + \dfrac{1}{3 - \sqrt{8}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3+\sqrt{8})(3-(\sqrt{8}))=1$

Сопряжённые множители отличаются знаком между слагаемыми. Их произведение равно квадрату первого слагаемого минус квадрат второго. Знаменатель ненулевой.

$(3-(\sqrt{8}))+(3+\sqrt{8})=6$

У первой дроби дополнительный множитель равен второму знаменателю, у второй — первому. При вычитании меняются знаки всех слагаемых в скобках.

$\dfrac{1}{3 + \sqrt{8}} + \dfrac{1}{3 - \sqrt{8}}=\dfrac{6}{1}=6$

Делим полученный числитель на общий знаменатель.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 89

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{19} + 5)^2 - 10\sqrt{19}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{19}+5)^{2}=19+10\sqrt{19}+25$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{19} + 5)^2 - 10\sqrt{19}=19+10\sqrt{19}+25-10\cdot \sqrt{19}=19+25$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$19+25=44$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 44

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 90

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{23} - 2)(\sqrt{23} + 2)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{23} - 2)(\sqrt{23} + 2)=(\sqrt{23})^{2}-(2)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{23})^{2}=23$

$(2)^{2}=4$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$23-4=19$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 19

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 91

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{13} \cdot a^{11} : a^{21}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{13} \cdot a^{11} : a^{21}=a^{13+11-21}$

$a^{13+11-21}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(4)^{3}=64$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 92

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-9} \cdot (a^2)^6$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{2})^{6}=a^{2\cdot(6)}=a^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-9} \cdot (a^2)^6=a^{-9+12}$

$a^{-9+12}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(5)^{3}=125$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 93

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^9 \cdot a^8}{a^{12}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^9 \cdot a^8}{a^{12}}=a^{9+8-12}$

$a^{9+8-12}=a^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 94

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^3)^8 \cdot a^7}{a^{29}}$

При $a=7$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{8}=a^{3\cdot(8)}=a^{24}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^3)^8 \cdot a^7}{a^{29}}=a^{24+7-29}$

$a^{24+7-29}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(7)^{2}=49$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 95

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{18} \cdot (b^8)^2}{(a \cdot b)^{16}}$

При $a=5{,}\quad b=\sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{8})^{2}=b^{8\cdot(2)}=b^{16}$

$(a\cdot b)^{16}=a^{16}\cdotb^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{18} \cdot (b^8)^2}{(a \cdot b)^{16}}=a^{18-16}\cdot b^{16-16}$

$a^{18-16}\cdot b^{16-16}=a^{2}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}\cdot b^{0}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 96

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{9a^{19}}{a^9}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{9\cdot a^{19}}{a^{9}}=9 a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{9a^{19}}{a^9}}=3\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$3\cdot |a^{5}|=3 a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$3 a^{5}=3 (2)^{5}=96$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 96

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 97

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{36x^2}{y^4}}$

При $x=6{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{36\cdot x^{2}}{y^{4}}=\dfrac{36 x^{2}}{y^{4}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{36x^2}{y^4}}=6\cdot |\dfrac{x}{y^{2}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$6\cdot |\dfrac{x}{y^{2}}|=\dfrac{6 x}{y^{2}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{6 x}{y^{2}}=\dfrac{6 (6)}{(2)^{2}}=9$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 98

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{25} \cdot x^8y^2}$

При $x=3{,}\quad y=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{25}\cdot x^{8}\cdot y^{2}=\dfrac{x^{8} y^{2}}{25}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{25} \cdot x^8y^2}=\dfrac{1}{5}\cdot |x^{4} y|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{5}\cdot |x^{4} y|=\dfrac{x^{4} y}{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{4} y}{5}=\dfrac{(3)^{4} (5)}{5}=81$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 99

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{2}\cdot (-(a))^{2}=a^{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2}=1\cdot |a^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{2}|=a^{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{2}=(4)^{2}=16$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 100

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}$

При $a=3{,}\quad b=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}-(4\cdot a\cdot b)+4\cdot b^{2}=(a - 2 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}=|a - 2 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a - 2 b=(3) - 2 (4)=-5$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-5|=5$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 101

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{24^4}{3^2 \cdot 8^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8=2^{3}$

$24=2^{3}\cdot 3$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{24^4}{3^2 \cdot 8^3}=2^{12-9}\cdot 3^{4-2}$

$2^{12-9}\cdot 3^{4-2}=2^{3}\cdot 3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}\cdot 3^{2}=8\cdot 9=72$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 72

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 102

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^7}{8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8=2^{3}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{2^7}{8}=2^{7-3}$

$2^{7-3}=2^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{4}=16=16$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 103

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(6^2)^{-9}}{6^{-20}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(6^{2})^{-9}=6^{2\cdot(-9)}=6^{-18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(6^2)^{-9}}{6^{-20}}=6^{-18+20}$

$6^{-18+20}=6^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$6^{2}=36=36$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 104

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$7^{-6} \cdot (7^2)^4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(7^{2})^{4}=7^{2\cdot(4)}=7^{8}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$7^{-6} \cdot (7^2)^4=7^{-6+8}$

$7^{-6+8}=7^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$7^{2}=49=49$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 105

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3 \cdot 4)^4}{3^2 \cdot 4^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot 4)^{4}=3^{4}\cdot4^{4}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(3 \cdot 4)^4}{3^2 \cdot 4^3}=3^{4-2}\cdot 4^{4-3}$

$3^{4-2}\cdot 4^{4-3}=3^{2}\cdot 4^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}\cdot 4^{1}=9\cdot 4=36$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 106

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{2^{-11}} \cdot \dfrac{1}{2^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{2^{-11}}=2^{11}$

$\dfrac{1}{2^{7}}=2^{-7}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{2^{-11}} \cdot \dfrac{1}{2^7}=2^{11-7}$

$2^{11-7}=2^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{4}=16=16$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 107

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{21}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{21\cdot 14}=\sqrt{294}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{294}{6}}=\sqrt{49}$

Делитель √6 положителен. Под корнем делим 294 на 6.

$\sqrt{49}=7$

$(7)^2=49$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 108

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{72}{(2\sqrt{3})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{3})^{2}=2^2\cdot 3=12$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{72}{(2\sqrt{3})^2}=\dfrac{72}{12}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{72}{12}=6$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 109

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$10\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{42}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$10\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{42}=20\cdot\sqrt{7\cdot 6\cdot 42}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{7\cdot 6\cdot 42}=\sqrt{1764}=42$

$(42)^2=1764$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$20\cdot 42=840$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 840

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 110

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{4^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4^{3}=64$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8$

$(8)^2=64$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 111

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{18} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{18}=\sqrt{3^2\cdot 2}=3\sqrt{2}$

Число 18 представляем как 9 · 2; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{2}+\sqrt{2}=(3+1)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{18} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\cdot 2=8$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 112

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{11 \cdot 32} \cdot \sqrt{22}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{11 \cdot 32} \cdot \sqrt{22}=1\cdot\sqrt{352\cdot 22}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{352\cdot 22}=\sqrt{7744}=88$

$(88)^2=7744$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 88=88$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 88

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 113

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{5} + 9)^2 - 18\sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{5}+9)^{2}=5+18\sqrt{5}+81$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{5} + 9)^2 - 18\sqrt{5}=5+18\sqrt{5}+81-18\cdot \sqrt{5}=5+81$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$5+81=86$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 86

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 114

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{5})^{2}=5$

$(\sqrt{3})^{2}=3$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$5-3=2$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 115

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^7 \cdot a^{19} : a^{23}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^7 \cdot a^{19} : a^{23}=a^{7+19-23}$

$a^{7+19-23}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(2)^{3}=8$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 116

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^3)^{-4} : a^{-14}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{-4}=a^{3\cdot(-4)}=a^{-12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^3)^{-4} : a^{-14}=a^{-12+14}$

$a^{-12+14}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 117

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{19} \cdot a^{-11}}{a^5}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{19} \cdot a^{-11}}{a^5}=a^{19-11-5}$

$a^{19-11-5}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(5)^{3}=125$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 118

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^6)^3}{a^{15}}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{6})^{3}=a^{6\cdot(3)}=a^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^6)^3}{a^{15}}=a^{18-15}$

$a^{18-15}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(4)^{3}=64$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 119

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{22} \cdot (b^3)^6}{(a \cdot b)^{18}}$

При $a=2{,}\quad b=\sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{3})^{6}=b^{3\cdot(6)}=b^{18}$

$(a\cdot b)^{18}=a^{18}\cdotb^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{22} \cdot (b^3)^6}{(a \cdot b)^{18}}=a^{22-18}\cdot b^{18-18}$

$a^{22-18}\cdot b^{18-18}=a^{4}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}\cdot b^{0}=a^{4}$

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 120

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{25a^{12}}{a^8}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{25\cdot a^{12}}{a^{8}}=25 a^{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{25a^{12}}{a^8}}=5\cdot |a^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$5\cdot |a^{2}|=5 a^{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$5 a^{2}=5 (2)^{2}=20$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 121

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{9x^2}{y^4}}$

При $x=6{,}\quad y=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{9\cdot x^{2}}{y^{4}}=\dfrac{9 x^{2}}{y^{4}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{9x^2}{y^4}}=3\cdot |\dfrac{x}{y^{2}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$3\cdot |\dfrac{x}{y^{2}}|=\dfrac{3 x}{y^{2}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{3 x}{y^{2}}=\dfrac{3 (6)}{(3)^{2}}=2$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 122

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot x^4y^6}$

При $x=2{,}\quad y=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{4}\cdot x^{4}\cdot y^{6}=\dfrac{x^{4} y^{6}}{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot x^4y^6}=\dfrac{1}{2}\cdot |x^{2} y^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{2}\cdot |x^{2} y^{3}|=\dfrac{x^{2} y^{3}}{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{2} y^{3}}{2}=\dfrac{(2)^{2} (3)^{3}}{2}=54$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 54

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 123

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{6}\cdot (-(a))^{2}=a^{8}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}=1\cdot |a^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{4}|=a^{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{4}=(3)^{4}=81$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 124

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 10ab + 25b^2}$

При $a=14\dfrac{6}{13}{,}\quad b=3\dfrac{4}{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+10\cdot a\cdot b+25\cdot b^{2}=(a + 5 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 10ab + 25b^2}=|a + 5 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 5 b=(\dfrac{188}{13}) + 5 (\dfrac{43}{13})=31$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|31|=31$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 31

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 125

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{9^{-6} \cdot 9^{15}}{9^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9=3^{2}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{9^{-6} \cdot 9^{15}}{9^7}=3^{-12+30-14}$

$3^{-12+30-14}=3^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{4}=81=81$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 126

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{3^7}{81}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$81=3^{4}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{3^7}{81}=3^{7-4}$

$3^{7-4}=3^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{3}=27=27$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 127

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(5^2)^{-8}}{5^{-18}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(5^{2})^{-8}=5^{2\cdot(-8)}=5^{-16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(5^2)^{-8}}{5^{-18}}=5^{-16+18}$

$5^{-16+18}=5^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{2}=25=25$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 128

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$4^{-6} \cdot (4^3)^3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(4^{3})^{3}=4^{3\cdot(3)}=4^{9}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$4^{-6} \cdot (4^3)^3=4^{-6+9}$

$4^{-6+9}=4^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$4^{3}=64=64$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 129

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3 \cdot 10)^8}{3^6 \cdot 10^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot 10)^{8}=3^{8}\cdot10^{8}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(3 \cdot 10)^8}{3^6 \cdot 10^7}=3^{8-6}\cdot 10^{8-7}$

$3^{8-6}\cdot 10^{8-7}=3^{2}\cdot 10^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}\cdot 10^{1}=9\cdot 10=90$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 90

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 130

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{8^{-7}} \cdot \dfrac{1}{8^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{8^{-7}}=8^{7}$

$\dfrac{1}{8^{6}}=8^{-6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{8^{-7}} \cdot \dfrac{1}{8^6}=8^{7-6}$

$8^{7-6}=8^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$8^{1}=8=8$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 131

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{192}}{\sqrt{24}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{8}\cdot\sqrt{192}=\sqrt{8\cdot 192}=\sqrt{1536}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{192}}{\sqrt{24}}=\sqrt{\dfrac{1536}{24}}=\sqrt{64}$

Делитель √24 положителен. Под корнем делим 1536 на 24.

$\sqrt{64}=8$

$(8)^2=64$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 132

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{48}{(2\sqrt{6})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{6})^{2}=2^2\cdot 6=24$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{48}{(2\sqrt{6})^2}=\dfrac{48}{24}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{48}{24}=2$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 133

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$2\sqrt{13} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$2\sqrt{13} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}=10\cdot\sqrt{13\cdot 2\cdot 26}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{13\cdot 2\cdot 26}=\sqrt{676}=26$

$(26)^2=676$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$10\cdot 26=260$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 260

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 134

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{6^4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6^{4}=1296$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{6^4}=\sqrt{1296}=36$

$(36)^2=1296$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 135

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{63} + \sqrt{7}) \cdot \sqrt{7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{63}=\sqrt{3^2\cdot 7}=3\sqrt{7}$

Число 63 представляем как 9 · 7; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{7}+\sqrt{7}=(3+1)\sqrt{7}=4\sqrt{7}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{63} + \sqrt{7}) \cdot \sqrt{7}=4\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=4\cdot 7=28$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 28

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 136

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{19 \cdot 2} \cdot \sqrt{38}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{19 \cdot 2} \cdot \sqrt{38}=1\cdot\sqrt{38\cdot 38}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{38\cdot 38}=\sqrt{1444}=38$

$(38)^2=1444$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 38=38$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 38

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 137

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{17} - 6)^2 + 12\sqrt{17}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{17}-(6))^{2}=17-12\sqrt{17}+36$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{17} - 6)^2 + 12\sqrt{17}=17-12\sqrt{17}+36+12\cdot \sqrt{17}=17+36$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$17+36=53$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 53

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 138

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} + 6)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} + 6)=(\sqrt{2})^{2}-(6)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{2})^{2}=2$

$(6)^{2}=36$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$2-36=-34$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ -34

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 139

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^6 \cdot a^{18} : a^{20}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^6 \cdot a^{18} : a^{20}=a^{6+18-20}$

$a^{6+18-20}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 140

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^4)^{-3} : a^{-17}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{4})^{-3}=a^{4\cdot(-3)}=a^{-12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^4)^{-3} : a^{-17}=a^{-12+17}$

$a^{-12+17}=a^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 141

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{10} \cdot a^{12}}{a^{19}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{10} \cdot a^{12}}{a^{19}}=a^{10+12-19}$

$a^{10+12-19}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(2)^{3}=8$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 142

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^9)^3 \cdot a^7}{a^{29}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{9})^{3}=a^{9\cdot(3)}=a^{27}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^9)^3 \cdot a^7}{a^{29}}=a^{27+7-29}$

$a^{27+7-29}=a^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 143

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{17} \cdot (b^5)^3}{(a \cdot b)^{15}}$

При $a=7{,}\quad b=\sqrt{7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{5})^{3}=b^{5\cdot(3)}=b^{15}$

$(a\cdot b)^{15}=a^{15}\cdotb^{15}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{17} \cdot (b^5)^3}{(a \cdot b)^{15}}=a^{17-15}\cdot b^{15-15}$

$a^{17-15}\cdot b^{15-15}=a^{2}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}\cdot b^{0}=a^{2}$

$a^{2}=(7)^{2}=49$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 144

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{64a^{17}}{a^{15}}}$

При $a=7$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{64\cdot a^{17}}{a^{15}}=64 a^{2}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{64a^{17}}{a^{15}}}=8\cdot |a|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$8\cdot |a|=8 a$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$8 a=8 (7)=56$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 56

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 145

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{16x^4}{y^{10}}}$

При $x=8{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{16\cdot x^{4}}{y^{10}}=\dfrac{16 x^{4}}{y^{10}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{16x^4}{y^{10}}}=4\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{5}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$4\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{5}}|=\dfrac{4 x^{2}}{y^{5}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{4 x^{2}}{y^{5}}=\dfrac{4 (8)^{2}}{(2)^{5}}=8$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 146

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{25} \cdot x^6y^4}$

При $x=5{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{25}\cdot x^{6}\cdot y^{4}=\dfrac{x^{6} y^{4}}{25}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{25} \cdot x^6y^4}=\dfrac{1}{5}\cdot |x^{3} y^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{5}\cdot |x^{3} y^{2}|=\dfrac{x^{3} y^{2}}{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{3} y^{2}}{5}=\dfrac{(5)^{3} (2)^{2}}{5}=100$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 100

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 147

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{6}\cdot (-(a))^{2}=a^{8}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}=1\cdot |a^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{4}|=a^{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{4}=(3)^{4}=81$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 148

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{9a^2 + 6ab + b^2}$

При $a=\dfrac{5}{13}{,}\quad b=6\dfrac{11}{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9\cdot a^{2}+6\cdot a\cdot b+b^{2}=(3 a + b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{9a^2 + 6ab + b^2}=|3 a + b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$3 a + b=3 (\dfrac{5}{13}) + (\dfrac{89}{13})=8$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|8|=8$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 149

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{6^7}{2^6 \cdot 3^5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6=2\cdot 3$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{6^7}{2^6 \cdot 3^5}=2^{7-6}\cdot 3^{7-5}$

$2^{7-6}\cdot 3^{7-5}=2^{1}\cdot 3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{1}\cdot 3^{2}=2\cdot 9=18$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 18

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 150

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^7}{32}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$32=2^{5}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{2^7}{32}=2^{7-5}$

$2^{7-5}=2^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}=4=4$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 151

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3^7)^{-2}}{3^{-16}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3^{7})^{-2}=3^{7\cdot(-2)}=3^{-14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(3^7)^{-2}}{3^{-16}}=3^{-14+16}$

$3^{-14+16}=3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}=9=9$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 152

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$2^{-9} \cdot (2^7)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2^{7})^{2}=2^{7\cdot(2)}=2^{14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$2^{-9} \cdot (2^7)^2=2^{-9+14}$

$2^{-9+14}=2^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{5}=32=32$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 153

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2 \cdot 10)^5}{2^2 \cdot 10^4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot 10)^{5}=2^{5}\cdot10^{5}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2 \cdot 10)^5}{2^2 \cdot 10^4}=2^{5-2}\cdot 10^{5-4}$

$2^{5-2}\cdot 10^{5-4}=2^{3}\cdot 10^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}\cdot 10^{1}=8\cdot 10=80$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 80

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 154

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{4^{-10}} \cdot \dfrac{1}{4^9}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{4^{-10}}=4^{10}$

$\dfrac{1}{4^{9}}=4^{-9}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{4^{-10}} \cdot \dfrac{1}{4^9}=4^{10-9}$

$4^{10-9}=4^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$4^{1}=4=4$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 155

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{20}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{15}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{15\cdot 12}=\sqrt{180}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{20}}=\sqrt{\dfrac{180}{20}}=\sqrt{9}$

Делитель √20 положителен. Под корнем делим 180 на 20.

$\sqrt{9}=3$

$(3)^2=9$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 156

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2\sqrt{8})^2}{160}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{8})^{2}=2^2\cdot 8=32$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(2\sqrt{8})^2}{160}=\dfrac{32}{160}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{32}{160}=\dfrac{1}{5}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{1}{5}=0{,}2$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 157

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$7\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{30}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{30}=14\cdot\sqrt{15\cdot 2\cdot 30}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{15\cdot 2\cdot 30}=\sqrt{900}=30$

$(30)^2=900$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$14\cdot 30=420$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 420

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 158

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{3^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3^{6}=729$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{3^6}=\sqrt{729}=27$

$(27)^2=729$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 159

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{20} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{20}=\sqrt{2^2\cdot 5}=2\sqrt{5}$

Число 20 представляем как 4 · 5; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=(2-1)\sqrt{5}=1\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{20} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=1\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=1\cdot 5=5$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 160

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{7 \cdot 18} \cdot \sqrt{14}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{7 \cdot 18} \cdot \sqrt{14}=1\cdot\sqrt{126\cdot 14}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{126\cdot 14}=\sqrt{1764}=42$

$(42)^2=1764$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 42=42$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 42

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 161

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{11} - 7)^2 + 14\sqrt{11}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{11}-(7))^{2}=11-14\sqrt{11}+49$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{11} - 7)^2 + 14\sqrt{11}=11-14\sqrt{11}+49+14\cdot \sqrt{11}=11+49$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$11+49=60$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 60

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 162

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{29} - 4)(\sqrt{29} + 4)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{29} - 4)(\sqrt{29} + 4)=(\sqrt{29})^{2}-(4)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{29})^{2}=29$

$(4)^{2}=16$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$29-16=13$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 13

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 163

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{19} \cdot a^{-8} : a^9$

При $a=6$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{19} \cdot a^{-8} : a^9=a^{19-8-9}$

$a^{19-8-9}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(6)^{2}=36$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 164

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-15} \cdot (a^9)^2$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{9})^{2}=a^{9\cdot(2)}=a^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-15} \cdot (a^9)^2=a^{-15+18}$

$a^{-15+18}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(2)^{3}=8$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 165

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{16} \cdot a^{-7}}{a^6}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{16} \cdot a^{-7}}{a^6}=a^{16-7-6}$

$a^{16-7-6}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 166

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^3)^4}{a^9}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{4}=a^{3\cdot(4)}=a^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^3)^4}{a^9}=a^{12-9}$

$a^{12-9}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 167

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{21} \cdot (b^6)^3}{(a \cdot b)^{18}}$

При $a=3{,}\quad b=\sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{6})^{3}=b^{6\cdot(3)}=b^{18}$

$(a\cdot b)^{18}=a^{18}\cdotb^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{21} \cdot (b^6)^3}{(a \cdot b)^{18}}=a^{21-18}\cdot b^{18-18}$

$a^{21-18}\cdot b^{18-18}=a^{3}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}\cdot b^{0}=a^{3}$

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 168

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{36a^{21}}{a^{15}}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{36\cdot a^{21}}{a^{15}}=36 a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{36a^{21}}{a^{15}}}=6\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$6\cdot |a^{3}|=6 a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$6 a^{3}=6 (2)^{3}=48$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 48

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 169

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{25x^4}{y^6}}$

При $x=10{,}\quad y=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{25\cdot x^{4}}{y^{6}}=\dfrac{25 x^{4}}{y^{6}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{25x^4}{y^6}}=5\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{3}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$5\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{3}}|=\dfrac{5 x^{2}}{y^{3}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{5 x^{2}}{y^{3}}=\dfrac{5 (10)^{2}}{(5)^{3}}=4$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 170

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot x^{10}y^2}$

При $x=2{,}\quad y=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{16}\cdot x^{10}\cdot y^{2}=\dfrac{x^{10} y^{2}}{16}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot x^{10}y^2}=\dfrac{1}{4}\cdot |x^{5} y|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{4}\cdot |x^{5} y|=\dfrac{x^{5} y}{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{5} y}{4}=\dfrac{(2)^{5} (3)}{4}=24$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 24

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 171

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^4 \cdot a^6}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{4}=a^{4}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{4}\cdot a^{6}=a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^4 \cdot a^6}=1\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{5}|=a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{5}=(5)^{5}=3125$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 3125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 172

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 12ab + 36b^2}$

При $a=7\dfrac{2}{5}{,}\quad b=\dfrac{3}{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+12\cdot a\cdot b+36\cdot b^{2}=(a + 6 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 12ab + 36b^2}=|a + 6 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 6 b=(\dfrac{37}{5}) + 6 (\dfrac{3}{5})=11$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|11|=11$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 173

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{5^{-3} \cdot 5^{14}}{5^9}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{5^{-3} \cdot 5^{14}}{5^9}=5^{-3+14-9}$

$5^{-3+14-9}=5^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{2}=25=25$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 174

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{4^5}{16}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4=2^{2}$

$16=2^{4}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{4^5}{16}=2^{10-4}$

$2^{10-4}=2^{6}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{6}=64=64$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 175

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(9^3)^{-4}}{9^{-14}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(9^{3})^{-4}=9^{3\cdot(-4)}=9^{-12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(9^3)^{-4}}{9^{-14}}=9^{-12+14}$

$9^{-12+14}=9^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$9^{2}=81=81$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 176

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$9^{-6} \cdot (9^2)^4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(9^{2})^{4}=9^{2\cdot(4)}=9^{8}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$9^{-6} \cdot (9^2)^4=9^{-6+8}$

$9^{-6+8}=9^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$9^{2}=81=81$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 177

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(5 \cdot 7)^6}{5^4 \cdot 7^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(5\cdot 7)^{6}=5^{6}\cdot7^{6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(5 \cdot 7)^6}{5^4 \cdot 7^6}=5^{6-4}\cdot 7^{6-6}$

$5^{6-4}\cdot 7^{6-6}=5^{2}\cdot 7^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{2}\cdot 7^{0}=25\cdot 1=25$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 178

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{2^{-12}} \cdot \dfrac{1}{2^{10}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{2^{-12}}=2^{12}$

$\dfrac{1}{2^{10}}=2^{-10}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{2^{-12}} \cdot \dfrac{1}{2^{10}}=2^{12-10}$

$2^{12-10}=2^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}=4=4$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 179

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{35} \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{15}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{35}\cdot\sqrt{21}=\sqrt{35\cdot 21}=\sqrt{735}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{35} \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{15}}=\sqrt{\dfrac{735}{15}}=\sqrt{49}$

Делитель √15 положителен. Под корнем делим 735 на 15.

$\sqrt{49}=7$

$(7)^2=49$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 180

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{160}{(2\sqrt{5})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{5})^{2}=2^2\cdot 5=20$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{160}{(2\sqrt{5})^2}=\dfrac{160}{20}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{160}{20}=8$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 181

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$5\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{39}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{39}=10\cdot\sqrt{13\cdot 3\cdot 39}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{13\cdot 3\cdot 39}=\sqrt{1521}=39$

$(39)^2=1521$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$10\cdot 39=390$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 390

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 182

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{9^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9^{3}=729$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{9^3}=\sqrt{729}=27$

$(27)^2=729$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 183

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{8} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{8}=\sqrt{2^2\cdot 2}=2\sqrt{2}$

Число 8 представляем как 4 · 2; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=1\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{8} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=1\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=1\cdot 2=2$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 184

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{5 \cdot 12} \cdot \sqrt{15}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{5 \cdot 12} \cdot \sqrt{15}=1\cdot\sqrt{60\cdot 15}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{60\cdot 15}=\sqrt{900}=30$

$(30)^2=900$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 30=30$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 30

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 185

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{17} + 2)^2 - 4\sqrt{17}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{17}+2)^{2}=17+4\sqrt{17}+4$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{17} + 2)^2 - 4\sqrt{17}=17+4\sqrt{17}+4-4\cdot \sqrt{17}=17+4$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$17+4=21$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 21

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 186

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2)=(\sqrt{13})^{2}-(2)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{13})^{2}=13$

$(2)^{2}=4$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$13-4=9$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 187

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^2)^{-8} : a^{-18}$

При $a=7$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{2})^{-8}=a^{2\cdot(-8)}=a^{-16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^2)^{-8} : a^{-18}=a^{-16+18}$

$a^{-16+18}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(7)^{2}=49$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 188

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{11} \cdot a^9}{a^{18}}$

При $a=7$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{11} \cdot a^9}{a^{18}}=a^{11+9-18}$

$a^{11+9-18}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(7)^{2}=49$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 189

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^5)^4}{a^{16}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{5})^{4}=a^{5\cdot(4)}=a^{20}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^5)^4}{a^{16}}=a^{20-16}$

$a^{20-16}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 190

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{18} \cdot (b^7)^2}{(a \cdot b)^{14}}$

При $a=3{,}\quad b=\sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{7})^{2}=b^{7\cdot(2)}=b^{14}$

$(a\cdot b)^{14}=a^{14}\cdotb^{14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{18} \cdot (b^7)^2}{(a \cdot b)^{14}}=a^{18-14}\cdot b^{14-14}$

$a^{18-14}\cdot b^{14-14}=a^{4}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}\cdot b^{0}=a^{4}$

$a^{4}=(3)^{4}=81$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 191

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{4a^{16}}{a^{12}}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{4\cdot a^{16}}{a^{12}}=4 a^{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{4a^{16}}{a^{12}}}=2\cdot |a^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$2\cdot |a^{2}|=2 a^{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$2 a^{2}=2 (5)^{2}=50$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 50

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 192

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{36x^4}{y^2}}$

При $x=6{,}\quad y=9$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{36\cdot x^{4}}{y^{2}}=\dfrac{36 x^{4}}{y^{2}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{36x^4}{y^2}}=6\cdot |\dfrac{x^{2}}{y}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$6\cdot |\dfrac{x^{2}}{y}|=\dfrac{6 x^{2}}{y}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{6 x^{2}}{y}=\dfrac{6 (6)^{2}}{(9)}=24$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 24

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 193

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{25} \cdot x^4y^8}$

При $x=5{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{25}\cdot x^{4}\cdot y^{8}=\dfrac{x^{4} y^{8}}{25}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{25} \cdot x^4y^8}=\dfrac{1}{5}\cdot |x^{2} y^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{5}\cdot |x^{2} y^{4}|=\dfrac{x^{2} y^{4}}{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{2} y^{4}}{5}=\dfrac{(5)^{2} (2)^{4}}{5}=80$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 80

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 194

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^4 \cdot a^6}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{4}=a^{4}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{4}\cdot a^{6}=a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^4 \cdot a^6}=1\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{5}|=a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{5}=(5)^{5}=3125$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 3125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 195

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 4ab + 4b^2}$

При $a=2{,}\quad b=-4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+4\cdot a\cdot b+4\cdot b^{2}=(a + 2 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 4ab + 4b^2}=|a + 2 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 2 b=(2) + 2 (-4)=-6$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-6|=6$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 196

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{6^{-5} \cdot 6^{13}}{6^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6=2\cdot 3$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{6^{-5} \cdot 6^{13}}{6^7}=2^{-5+13-7}\cdot 3^{-5+13-7}$

$2^{-5+13-7}\cdot 3^{-5+13-7}=2^{1}\cdot 3^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{1}\cdot 3^{1}=2\cdot 3=6$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 197

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{3^6}{9}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9=3^{2}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{3^6}{9}=3^{6-2}$

$3^{6-2}=3^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{4}=81=81$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 198

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(7^7)^{-3}}{7^{-23}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(7^{7})^{-3}=7^{7\cdot(-3)}=7^{-21}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(7^7)^{-3}}{7^{-23}}=7^{-21+23}$

$7^{-21+23}=7^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$7^{2}=49=49$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 199

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$13^{-5} \cdot (13^3)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(13^{3})^{2}=13^{3\cdot(2)}=13^{6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$13^{-5} \cdot (13^3)^2=13^{-5+6}$

$13^{-5+6}=13^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$13^{1}=13=13$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 13

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 200

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3 \cdot 6)^4}{3^2 \cdot 6^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot 6)^{4}=3^{4}\cdot6^{4}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(3 \cdot 6)^4}{3^2 \cdot 6^3}=3^{4-2}\cdot 6^{4-3}$

$3^{4-2}\cdot 6^{4-3}=3^{2}\cdot 6^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}\cdot 6^{1}=9\cdot 6=54$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 54

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 201

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{5^{-8}} \cdot \dfrac{1}{5^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{5^{-8}}=5^{8}$

$\dfrac{1}{5^{6}}=5^{-6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{5^{-8}} \cdot \dfrac{1}{5^6}=5^{8-6}$

$5^{8-6}=5^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{2}=25=25$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 202

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{32}}{\sqrt{10}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{20}\cdot\sqrt{32}=\sqrt{20\cdot 32}=\sqrt{640}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{32}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\dfrac{640}{10}}=\sqrt{64}$

Делитель √10 положителен. Под корнем делим 640 на 10.

$\sqrt{64}=8$

$(8)^2=64$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 203

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2\sqrt{3})^2}{30}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{3})^{2}=2^2\cdot 3=12$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(2\sqrt{3})^2}{30}=\dfrac{12}{30}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{2}{5}=0{,}4$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 204

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$9\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}=18\cdot\sqrt{7\cdot 2\cdot 14}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{7\cdot 2\cdot 14}=\sqrt{196}=14$

$(14)^2=196$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$18\cdot 14=252$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 252

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 205

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{4^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4^{6}=4096$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{4^6}=\sqrt{4096}=64$

$(64)^2=4096$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 206

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{27} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{27}=\sqrt{3^2\cdot 3}=3\sqrt{3}$

Число 27 представляем как 9 · 3; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{3}+\sqrt{3}=(3+1)\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{27} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=4\cdot 3=12$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 207

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{17 \cdot 8} \cdot \sqrt{34}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{17 \cdot 8} \cdot \sqrt{34}=1\cdot\sqrt{136\cdot 34}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{136\cdot 34}=\sqrt{4624}=68$

$(68)^2=4624$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 68=68$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 68

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 208

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{19} - 7)^2 + 14\sqrt{19}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{19}-(7))^{2}=19-14\sqrt{19}+49$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{19} - 7)^2 + 14\sqrt{19}=19-14\sqrt{19}+49+14\cdot \sqrt{19}=19+49$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$19+49=68$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 68

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 209

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{19} - 5)(\sqrt{19} + 5)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{19} - 5)(\sqrt{19} + 5)=(\sqrt{19})^{2}-(5)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{19})^{2}=19$

$(5)^{2}=25$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$19-25=-6$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ -6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 210

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-8} \cdot (a^5)^2$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{5})^{2}=a^{5\cdot(2)}=a^{10}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-8} \cdot (a^5)^2=a^{-8+10}$

$a^{-8+10}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(3)^{2}=9$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 211

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{18} \cdot a^{-6}}{a^{10}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{18} \cdot a^{-6}}{a^{10}}=a^{18-6-10}$

$a^{18-6-10}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 212

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^8)^2}{a^{13}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{8})^{2}=a^{8\cdot(2)}=a^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^8)^2}{a^{13}}=a^{16-13}$

$a^{16-13}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(5)^{3}=125$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 213

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{14} \cdot (b^6)^2}{(a \cdot b)^{12}}$

При $a=6{,}\quad b=\sqrt{6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{6})^{2}=b^{6\cdot(2)}=b^{12}$

$(a\cdot b)^{12}=a^{12}\cdotb^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{14} \cdot (b^6)^2}{(a \cdot b)^{12}}=a^{14-12}\cdot b^{12-12}$

$a^{14-12}\cdot b^{12-12}=a^{2}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}\cdot b^{0}=a^{2}$

$a^{2}=(6)^{2}=36$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 214

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{9a^{14}}{a^8}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{9\cdot a^{14}}{a^{8}}=9 a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{9a^{14}}{a^8}}=3\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$3\cdot |a^{3}|=3 a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$3 a^{3}=3 (2)^{3}=24$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 24

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 215

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{4x^2}{y^6}}$

При $x=8{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{4\cdot x^{2}}{y^{6}}=\dfrac{4 x^{2}}{y^{6}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{4x^2}{y^6}}=2\cdot |\dfrac{x}{y^{3}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$2\cdot |\dfrac{x}{y^{3}}|=\dfrac{2 x}{y^{3}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{2 x}{y^{3}}=\dfrac{2 (8)}{(2)^{3}}=2$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 216

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot x^4y^{10}}$

При $x=3{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{9}\cdot x^{4}\cdot y^{10}=\dfrac{x^{4} y^{10}}{9}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot x^4y^{10}}=\dfrac{1}{3}\cdot |x^{2} y^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{3}\cdot |x^{2} y^{5}|=\dfrac{x^{2} y^{5}}{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{2} y^{5}}{3}=\dfrac{(3)^{2} (2)^{5}}{3}=96$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 96

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 217

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^8 \cdot (-a)^4}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{4}=a^{4}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{8}\cdot (-(a))^{4}=a^{12}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^8 \cdot (-a)^4}=1\cdot |a^{6}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{6}|=a^{6}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{6}=(2)^{6}=64$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 218

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{25a^2 + 10ab + b^2}$

При $a=\dfrac{4}{9}{,}\quad b=3\dfrac{7}{9}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$25\cdot a^{2}+10\cdot a\cdot b+b^{2}=(5 a + b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{25a^2 + 10ab + b^2}=|5 a + b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$5 a + b=5 (\dfrac{4}{9}) + (\dfrac{34}{9})=6$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|6|=6$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 219

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{6^{12} \cdot 11^{10}}{66^{10}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6=2\cdot 3$

$66=2\cdot 3\cdot 11$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{6^{12} \cdot 11^{10}}{66^{10}}=2^{12-10}\cdot 3^{12-10}\cdot 11^{10-10}$

$2^{12-10}\cdot 3^{12-10}\cdot 11^{10-10}=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 11^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 11^{0}=4\cdot 9\cdot 1=36$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 220

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^5}{4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4=2^{2}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{2^5}{4}=2^{5-2}$

$2^{5-2}=2^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}=8=8$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 221

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2^4)^{-6}}{2^{-27}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2^{4})^{-6}=2^{4\cdot(-6)}=2^{-24}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2^4)^{-6}}{2^{-27}}=2^{-24+27}$

$2^{-24+27}=2^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}=8=8$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 222

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$3^{-7} \cdot (3^5)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3^{5})^{2}=3^{5\cdot(2)}=3^{10}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$3^{-7} \cdot (3^5)^2=3^{-7+10}$

$3^{-7+10}=3^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{3}=27=27$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 223

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2 \cdot 6)^7}{2^5 \cdot 6^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot 6)^{7}=2^{7}\cdot6^{7}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2 \cdot 6)^7}{2^5 \cdot 6^6}=2^{7-5}\cdot 6^{7-6}$

$2^{7-5}\cdot 6^{7-6}=2^{2}\cdot 6^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}\cdot 6^{1}=4\cdot 6=24$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 24

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 224

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{3^{-10}} \cdot \dfrac{1}{3^8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{3^{-10}}=3^{10}$

$\dfrac{1}{3^{8}}=3^{-8}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{3^{-10}} \cdot \dfrac{1}{3^8}=3^{10-8}$

$3^{10-8}=3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}=9=9$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 225

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{65} \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{5}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{65}\cdot\sqrt{13}=\sqrt{65\cdot 13}=\sqrt{845}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{65} \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{845}{5}}=\sqrt{169}$

Делитель √5 положителен. Под корнем делим 845 на 5.

$\sqrt{169}=13$

$(13)^2=169$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 13

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 226

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2\sqrt{10})^2}{160}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{10})^{2}=2^2\cdot 10=40$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(2\sqrt{10})^2}{160}=\dfrac{40}{160}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{40}{160}=\dfrac{1}{4}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{1}{4}=0{,}25$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 227

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$5\sqrt{11} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{33}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\sqrt{11} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{33}=20\cdot\sqrt{11\cdot 3\cdot 33}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{11\cdot 3\cdot 33}=\sqrt{1089}=33$

$(33)^2=1089$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$20\cdot 33=660$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 660

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 228

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{4^4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4^{4}=256$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{4^4}=\sqrt{256}=16$

$(16)^2=256$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 229

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{48} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{48}=\sqrt{4^2\cdot 3}=4\sqrt{3}$

Число 48 представляем как 16 · 3; корень из 16 равен 4.

$4\sqrt{3}+\sqrt{3}=(4+1)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{48} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=5\cdot 3=15$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 15

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 230

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{2 \cdot 45} \cdot \sqrt{10}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{2 \cdot 45} \cdot \sqrt{10}=1\cdot\sqrt{90\cdot 10}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{90\cdot 10}=\sqrt{900}=30$

$(30)^2=900$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 30=30$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 30

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 231

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{3} + 8)^2 - 16\sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{3}+8)^{2}=3+16\sqrt{3}+64$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{3} + 8)^2 - 16\sqrt{3}=3+16\sqrt{3}+64-16\cdot \sqrt{3}=3+64$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$3+64=67$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 67

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 232

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{19} - 4)(\sqrt{19} + 4)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{19} - 4)(\sqrt{19} + 4)=(\sqrt{19})^{2}-(4)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{19})^{2}=19$

$(4)^{2}=16$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$19-16=3$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 233

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-7} \cdot (a^3)^4 : a^5$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{4}=a^{3\cdot(4)}=a^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-7} \cdot (a^3)^4 : a^5=a^{-7+12-5}$

$a^{-7+12-5}=a^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{0}=1$

$1=1=1$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 234

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{17} \cdot a^{-6}}{a^9}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{17} \cdot a^{-6}}{a^9}=a^{17-6-9}$

$a^{17-6-9}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(4)^{2}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 235

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^4)^5}{a^{18}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{4})^{5}=a^{4\cdot(5)}=a^{20}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^4)^5}{a^{18}}=a^{20-18}$

$a^{20-18}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(3)^{2}=9$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 236

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{21} \cdot (b^4)^4}{(a \cdot b)^{16}}$

При $a=2{,}\quad b=\sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{4})^{4}=b^{4\cdot(4)}=b^{16}$

$(a\cdot b)^{16}=a^{16}\cdotb^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{21} \cdot (b^4)^4}{(a \cdot b)^{16}}=a^{21-16}\cdot b^{16-16}$

$a^{21-16}\cdot b^{16-16}=a^{5}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}\cdot b^{0}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 237

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{16a^{12}}{a^{10}}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{16\cdot a^{12}}{a^{10}}=16 a^{2}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{16a^{12}}{a^{10}}}=4\cdot |a|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$4\cdot |a|=4 a$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$4 a=4 (5)=20$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 238

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{25x^2}{y^4}}$

При $x=10{,}\quad y=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{25\cdot x^{2}}{y^{4}}=\dfrac{25 x^{2}}{y^{4}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{25x^2}{y^4}}=5\cdot |\dfrac{x}{y^{2}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$5\cdot |\dfrac{x}{y^{2}}|=\dfrac{5 x}{y^{2}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{5 x}{y^{2}}=\dfrac{5 (10)}{(5)^{2}}=2$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 239

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot x^2y^8}$

При $x=5{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{4}\cdot x^{2}\cdot y^{8}=\dfrac{x^{2} y^{8}}{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot x^2y^8}=\dfrac{1}{2}\cdot |x y^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{2}\cdot |x y^{4}|=\dfrac{x y^{4}}{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x y^{4}}{2}=\dfrac{(5) (2)^{4}}{2}=40$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 40

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 240

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^8 \cdot (-a)^4}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{4}=a^{4}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{8}\cdot (-(a))^{4}=a^{12}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^8 \cdot (-a)^4}=1\cdot |a^{6}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{6}|=a^{6}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{6}=(2)^{6}=64$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 241

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 - 6ab + 9b^2}$

При $a=3{,}\quad b=6$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}-(6\cdot a\cdot b)+9\cdot b^{2}=(a - 3 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 - 6ab + 9b^2}=|a - 3 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a - 3 b=(3) - 3 (6)=-15$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-15|=15$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 15

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 242

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{7^8 \cdot 10^6}{70^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$10=2\cdot 5$

$70=2\cdot 5\cdot 7$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{7^8 \cdot 10^6}{70^6}=2^{6-6}\cdot 5^{6-6}\cdot 7^{8-6}$

$2^{6-6}\cdot 5^{6-6}\cdot 7^{8-6}=2^{0}\cdot 5^{0}\cdot 7^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{0}\cdot 5^{0}\cdot 7^{2}=49\cdot 1\cdot 1=49$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 243

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3\sqrt{5})^2}{75}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot \sqrt{5})^{2}=3^2\cdot 5=45$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(3\sqrt{5})^2}{75}=\dfrac{45}{75}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{45}{75}=\dfrac{3}{5}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{3}{5}=0{,}6$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 244

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{32} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{32}=\sqrt{4^2\cdot 2}=4\sqrt{2}$

Число 32 представляем как 16 · 2; корень из 16 равен 4.

$4\sqrt{2}+\sqrt{2}=(4+1)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{32} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=5\cdot 2=10$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 245

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{11 \cdot 18} \cdot \sqrt{22}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{11 \cdot 18} \cdot \sqrt{22}=1\cdot\sqrt{198\cdot 22}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{198\cdot 22}=\sqrt{4356}=66$

$(66)^2=4356$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 66=66$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 66

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 246

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})=(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{7})^{2}=7$

$(\sqrt{2})^{2}=2$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$7-2=5$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 247

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^7)^{-2} : a^{-16}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{7})^{-2}=a^{7\cdot(-2)}=a^{-14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^7)^{-2} : a^{-16}=a^{-14+16}$

$a^{-14+16}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(3)^{2}=9$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 248

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^3)^5}{a^{11}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{5}=a^{3\cdot(5)}=a^{15}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^3)^5}{a^{11}}=a^{15-11}$

$a^{15-11}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(3)^{4}=81$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 249

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{25a^{15}}{a^9}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{25\cdot a^{15}}{a^{9}}=25 a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{25a^{15}}{a^9}}=5\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$5\cdot |a^{3}|=5 a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$5 a^{3}=5 (2)^{3}=40$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 40

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 250

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{9x^4}{y^6}}$

При $x=9{,}\quad y=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{9\cdot x^{4}}{y^{6}}=\dfrac{9 x^{4}}{y^{6}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{9x^4}{y^6}}=3\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{3}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$3\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{3}}|=\dfrac{3 x^{2}}{y^{3}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{3 x^{2}}{y^{3}}=\dfrac{3 (9)^{2}}{(3)^{3}}=9$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 251

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^4}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{4}=a^{4}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{2}\cdot (-(a))^{4}=a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^4}=1\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{3}|=a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{3}=(4)^{3}=64$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 252

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{16a^2 + 8ab + b^2}$

При $a=\dfrac{3}{11}{,}\quad b=5\dfrac{10}{11}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$16\cdot a^{2}+8\cdot a\cdot b+b^{2}=(4 a + b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{16a^2 + 8ab + b^2}=|4 a + b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$4 a + b=4 (\dfrac{3}{11}) + (\dfrac{65}{11})=7$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|7|=7$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 253

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{11^{-3} \cdot 11^{12}}{11^8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{11^{-3} \cdot 11^{12}}{11^8}=11^{-3+12-8}$

$11^{-3+12-8}=11^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$11^{1}=11=11$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 254

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{360}{(2\sqrt{10})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{10})^{2}=2^2\cdot 10=40$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{360}{(2\sqrt{10})^2}=\dfrac{360}{40}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{360}{40}=9$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 255

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{54} - \sqrt{6}) \cdot \sqrt{6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{54}=\sqrt{3^2\cdot 6}=3\sqrt{6}$

Число 54 представляем как 9 · 6; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{6}-\sqrt{6}=(3-1)\sqrt{6}=2\sqrt{6}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{54} - \sqrt{6}) \cdot \sqrt{6}=2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=2\cdot 6=12$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 256

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{7 \cdot 12} \cdot \sqrt{21}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{7 \cdot 12} \cdot \sqrt{21}=1\cdot\sqrt{84\cdot 21}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{84\cdot 21}=\sqrt{1764}=42$

$(42)^2=1764$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 42=42$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 42

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 257

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{17} - 5)(\sqrt{17} + 5)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{17} - 5)(\sqrt{17} + 5)=(\sqrt{17})^{2}-(5)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{17})^{2}=17$

$(5)^{2}=25$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$17-25=-8$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ -8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 258

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^5)^{-3} : a^{-19}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{5})^{-3}=a^{5\cdot(-3)}=a^{-15}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^5)^{-3} : a^{-19}=a^{-15+19}$

$a^{-15+19}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 259

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^7)^2}{a^{12}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{7})^{2}=a^{7\cdot(2)}=a^{14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^7)^2}{a^{12}}=a^{14-12}$

$a^{14-12}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 260

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{25a^{19}}{a^{11}}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{25\cdot a^{19}}{a^{11}}=25 a^{8}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{25a^{19}}{a^{11}}}=5\cdot |a^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$5\cdot |a^{4}|=5 a^{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$5 a^{4}=5 (2)^{4}=80$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 80

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 261

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^4}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{4}=a^{4}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{2}\cdot (-(a))^{4}=a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^4}=1\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{3}|=a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{3}=(4)^{3}=64$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 262

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 10ab + 25b^2}$

При $a=7\dfrac{7}{11}{,}\quad b=\dfrac{3}{11}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+10\cdot a\cdot b+25\cdot b^{2}=(a + 5 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 10ab + 25b^2}=|a + 5 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 5 b=(\dfrac{84}{11}) + 5 (\dfrac{3}{11})=9$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|9|=9$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 263

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{8^7 \cdot 3^6}{24^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8=2^{3}$

$24=2^{3}\cdot 3$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{8^7 \cdot 3^6}{24^6}=2^{21-18}\cdot 3^{6-6}$

$2^{21-18}\cdot 3^{6-6}=2^{3}\cdot 3^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}\cdot 3^{0}=8\cdot 1=8$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 264

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2\sqrt{6})^2}{48}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{6})^{2}=2^2\cdot 6=24$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(2\sqrt{6})^2}{48}=\dfrac{24}{48}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{24}{48}=\dfrac{1}{2}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{1}{2}=0{,}5$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 265

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{125} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{125}=\sqrt{5^2\cdot 5}=5\sqrt{5}$

Число 125 представляем как 25 · 5; корень из 25 равен 5.

$5\sqrt{5}+\sqrt{5}=(5+1)\sqrt{5}=6\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{125} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=6\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=6\cdot 5=30$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 30

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 266

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})=(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{3})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{7})^{2}=7$

$(\sqrt{3})^{2}=3$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$7-3=4$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 267

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-12} \cdot (a^7)^2$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{7})^{2}=a^{7\cdot(2)}=a^{14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-12} \cdot (a^7)^2=a^{-12+14}$

$a^{-12+14}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 268

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^3)^4 \cdot a^{12}}{a^{21}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{4}=a^{3\cdot(4)}=a^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^3)^4 \cdot a^{12}}{a^{21}}=a^{12+12-21}$

$a^{12+12-21}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(5)^{3}=125$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 269

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^4}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{8}=a^{8}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{8}\cdot a^{4}=a^{12}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^4}=1\cdot |a^{6}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{6}|=a^{6}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{6}=(3)^{6}=729$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 729

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 270

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 12ab + 36b^2}$

При $a=7{,}\quad b=-3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+12\cdot a\cdot b+36\cdot b^{2}=(a + 6 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 12ab + 36b^2}=|a + 6 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 6 b=(7) + 6 (-3)=-11$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-11|=11$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 271

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{3^{13} \cdot 7^{10}}{21^{10}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$21=3\cdot 7$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{3^{13} \cdot 7^{10}}{21^{10}}=3^{13-10}\cdot 7^{10-10}$

$3^{13-10}\cdot 7^{10-10}=3^{3}\cdot 7^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{3}\cdot 7^{0}=27\cdot 1=27$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 272

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{96}{(4\sqrt{2})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(4\cdot \sqrt{2})^{2}=4^2\cdot 2=32$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{96}{(4\sqrt{2})^2}=\dfrac{96}{32}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{96}{32}=3$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 273

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{32} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{32}=\sqrt{4^2\cdot 2}=4\sqrt{2}$

Число 32 представляем как 16 · 2; корень из 16 равен 4.

$4\sqrt{2}-\sqrt{2}=(4-1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{32} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=3\cdot 2=6$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 274

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{47} - 5)(\sqrt{47} + 5)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{47} - 5)(\sqrt{47} + 5)=(\sqrt{47})^{2}-(5)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{47})^{2}=47$

$(5)^{2}=25$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$47-25=22$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 22

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 275

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^4)^{-4} : a^{-19}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{4})^{-4}=a^{4\cdot(-4)}=a^{-16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^4)^{-4} : a^{-19}=a^{-16+19}$

$a^{-16+19}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(5)^{3}=125$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 276

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^4)^4}{a^{14}}$

При $a=6$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{4})^{4}=a^{4\cdot(4)}=a^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^4)^4}{a^{14}}=a^{16-14}$

$a^{16-14}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(6)^{2}=36$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 277

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^4}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{8}=a^{8}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{8}\cdot a^{4}=a^{12}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^4}=1\cdot |a^{6}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{6}|=a^{6}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{6}=(3)^{6}=729$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 729

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 278

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 - 12ab + 36b^2}$

При $a=8{,}\quad b=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}-(12\cdot a\cdot b)+36\cdot b^{2}=(a - 6 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 - 12ab + 36b^2}=|a - 6 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a - 6 b=(8) - 6 (3)=-10$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-10|=10$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 279

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{6^5}{2^3 \cdot 3^4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6=2\cdot 3$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{6^5}{2^3 \cdot 3^4}=2^{5-3}\cdot 3^{5-4}$

$2^{5-3}\cdot 3^{5-4}=2^{2}\cdot 3^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}\cdot 3^{1}=4\cdot 3=12$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 280

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{220}{(2\sqrt{5})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{5})^{2}=2^2\cdot 5=20$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{220}{(2\sqrt{5})^2}=\dfrac{220}{20}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{220}{20}=11$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 281

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{20} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{20}=\sqrt{2^2\cdot 5}=2\sqrt{5}$

Число 20 представляем как 4 · 5; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{5}+\sqrt{5}=(2+1)\sqrt{5}=3\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{20} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=3\cdot 5=15$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 15

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 282

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{13} - \sqrt{2})(\sqrt{13} + \sqrt{2})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{13} - \sqrt{2})(\sqrt{13} + \sqrt{2})=(\sqrt{13})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{13})^{2}=13$

$(\sqrt{2})^{2}=2$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$13-2=11$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 283

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^3)^{-5} : a^{-18}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{-5}=a^{3\cdot(-5)}=a^{-15}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^3)^{-5} : a^{-18}=a^{-15+18}$

$a^{-15+18}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(2)^{3}=8$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 284

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^3)^6 \cdot a^3}{a^{17}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{6}=a^{3\cdot(6)}=a^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^3)^6 \cdot a^3}{a^{17}}=a^{18+3-17}$

$a^{18+3-17}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(3)^{4}=81$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 285

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^4}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{4}=a^{4}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{6}\cdot (-(a))^{4}=a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^4}=1\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{5}|=a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 286

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 6ab + 9b^2}$

При $a=5{,}\quad b=-4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+6\cdot a\cdot b+9\cdot b^{2}=(a + 3 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 6ab + 9b^2}=|a + 3 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 3 b=(5) + 3 (-4)=-7$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-7|=7$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 287

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^{-5} \cdot 2^{17}}{2^8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{2^{-5} \cdot 2^{17}}{2^8}=2^{-5+17-8}$

$2^{-5+17-8}=2^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{4}=16=16$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 288

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(4\sqrt{2})^2}{64}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(4\cdot \sqrt{2})^{2}=4^2\cdot 2=32$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(4\sqrt{2})^2}{64}=\dfrac{32}{64}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{32}{64}=\dfrac{1}{2}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{1}{2}=0{,}5$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 289

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{8} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{8}=\sqrt{2^2\cdot 2}=2\sqrt{2}$

Число 8 представляем как 4 · 2; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=1\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{8} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=1\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=1\cdot 2=2$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 290

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{41} - 3)(\sqrt{41} + 3)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{41} - 3)(\sqrt{41} + 3)=(\sqrt{41})^{2}-(3)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{41})^{2}=41$

$(3)^{2}=9$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$41-9=32$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 291

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-14} \cdot (a^9)^2$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{9})^{2}=a^{9\cdot(2)}=a^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-14} \cdot (a^9)^2=a^{-14+18}$

$a^{-14+18}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(3)^{4}=81$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 292

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^7)^3}{a^{18}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{7})^{3}=a^{7\cdot(3)}=a^{21}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^7)^3}{a^{18}}=a^{21-18}$

$a^{21-18}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(2)^{3}=8$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 293

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^4}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{4}=a^{4}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{6}\cdot (-(a))^{4}=a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^4}=1\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{5}|=a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 294

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 - 8ab + 16b^2}$

При $a=4{,}\quad b=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}-(8\cdot a\cdot b)+16\cdot b^{2}=(a - 4 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 - 8ab + 16b^2}=|a - 4 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a - 4 b=(4) - 4 (3)=-8$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-8|=8$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 295

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{10^9}{2^6 \cdot 5^8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$10=2\cdot 5$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{10^9}{2^6 \cdot 5^8}=2^{9-6}\cdot 5^{9-8}$

$2^{9-6}\cdot 5^{9-8}=2^{3}\cdot 5^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}\cdot 5^{1}=8\cdot 5=40$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 40

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 296

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{64}{(2\sqrt{8})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{8})^{2}=2^2\cdot 8=32$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{64}{(2\sqrt{8})^2}=\dfrac{64}{32}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{64}{32}=2$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 297

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{12} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\cdot 3}=2\sqrt{3}$

Число 12 представляем как 4 · 3; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=(2+1)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{12} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\cdot 3=9$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 298

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{5})^{2}=5$

$(\sqrt{2})^{2}=2$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$5-2=3$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 299

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^4)^{-3} : a^{-15}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{4})^{-3}=a^{4\cdot(-3)}=a^{-12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^4)^{-3} : a^{-15}=a^{-12+15}$

$a^{-12+15}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 300

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^5)^5 \cdot a^6}{a^{27}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{5})^{5}=a^{5\cdot(5)}=a^{25}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^5)^5 \cdot a^6}{a^{27}}=a^{25+6-27}$

$a^{25+6-27}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 301

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^6}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{6}=a^{6}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{2}\cdot (-(a))^{6}=a^{8}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^6}=1\cdot |a^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{4}|=a^{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 302

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}$

При $a=3{,}\quad b=-4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+8\cdot a\cdot b+16\cdot b^{2}=(a + 4 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}=|a + 4 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 4 b=(3) + 4 (-4)=-13$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-13|=13$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 13

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 303

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{30^6}{3^4 \cdot 10^5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$10=2\cdot 5$

$30=2\cdot 3\cdot 5$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{30^6}{3^4 \cdot 10^5}=2^{6-5}\cdot 3^{6-4}\cdot 5^{6-5}$

$2^{6-5}\cdot 3^{6-4}\cdot 5^{6-5}=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=2\cdot 9\cdot 5=90$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 90

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 304

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3\sqrt{2})^2}{180}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot \sqrt{2})^{2}=3^2\cdot 2=18$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(3\sqrt{2})^2}{180}=\dfrac{18}{180}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{18}{180}=\dfrac{1}{10}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{1}{10}=0{,}1$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 305

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{45} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}=3\sqrt{5}$

Число 45 представляем как 9 · 5; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{5}+\sqrt{5}=(3+1)\sqrt{5}=4\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{45} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=4\cdot 5=20$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 306

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{17} - \sqrt{3})(\sqrt{17} + \sqrt{3})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{17} - \sqrt{3})(\sqrt{17} + \sqrt{3})=(\sqrt{17})^{2}-(\sqrt{3})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{17})^{2}=17$

$(\sqrt{3})^{2}=3$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$17-3=14$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 14

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 307

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-15} \cdot (a^5)^4$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{5})^{4}=a^{5\cdot(4)}=a^{20}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-15} \cdot (a^5)^4=a^{-15+20}$

$a^{-15+20}=a^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 308

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^8)^2 \cdot a^5}{a^{19}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{8})^{2}=a^{8\cdot(2)}=a^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^8)^2 \cdot a^5}{a^{19}}=a^{16+5-19}$

$a^{16+5-19}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(3)^{2}=9$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 309

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^6}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{6}=a^{6}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{2}\cdot (-(a))^{6}=a^{8}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^6}=1\cdot |a^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{4}|=a^{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 310

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{9a^2 + 6ab + b^2}$

При $a=\dfrac{4}{5}{,}\quad b=7\dfrac{3}{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9\cdot a^{2}+6\cdot a\cdot b+b^{2}=(3 a + b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{9a^2 + 6ab + b^2}=|3 a + b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$3 a + b=3 (\dfrac{4}{5}) + (\dfrac{38}{5})=10$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|10|=10$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 311

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{4^8 \cdot 11^{10}}{44^8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4=2^{2}$

$44=2^{2}\cdot 11$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{4^8 \cdot 11^{10}}{44^8}=2^{16-16}\cdot 11^{10-8}$

$2^{16-16}\cdot 11^{10-8}=2^{0}\cdot 11^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{0}\cdot 11^{2}=1\cdot 121=121$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 121

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 312

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{54}{(3\sqrt{2})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot \sqrt{2})^{2}=3^2\cdot 2=18$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{54}{(3\sqrt{2})^2}=\dfrac{54}{18}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{54}{18}=3$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 313

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{50} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{50}=\sqrt{5^2\cdot 2}=5\sqrt{2}$

Число 50 представляем как 25 · 2; корень из 25 равен 5.

$5\sqrt{2}-\sqrt{2}=(5-1)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{50} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\cdot 2=8$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 314

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{37} - 5)(\sqrt{37} + 5)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{37} - 5)(\sqrt{37} + 5)=(\sqrt{37})^{2}-(5)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{37})^{2}=37$

$(5)^{2}=25$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$37-25=12$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 315

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^2)^{-6} : a^{-15}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{2})^{-6}=a^{2\cdot(-6)}=a^{-12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^2)^{-6} : a^{-15}=a^{-12+15}$

$a^{-12+15}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(4)^{3}=64$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 316

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^4)^4 \cdot a^5}{a^{18}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{4})^{4}=a^{4\cdot(4)}=a^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^4)^4 \cdot a^5}{a^{18}}=a^{16+5-18}$

$a^{16+5-18}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 317

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^2 \cdot a^4}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{2}\cdot a^{4}=a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^2 \cdot a^4}=1\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{3}|=a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 318

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}$

При $a=3\dfrac{2}{3}{,}\quad b=\dfrac{1}{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+8\cdot a\cdot b+16\cdot b^{2}=(a + 4 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}=|a + 4 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 4 b=(\dfrac{11}{3}) + 4 (\dfrac{1}{3})=5$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|5|=5$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 319

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{10^6}{2^5 \cdot 5^4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$10=2\cdot 5$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{10^6}{2^5 \cdot 5^4}=2^{6-5}\cdot 5^{6-4}$

$2^{6-5}\cdot 5^{6-4}=2^{1}\cdot 5^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{1}\cdot 5^{2}=2\cdot 25=50$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 50

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 320

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2\sqrt{3})^2}{120}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{3})^{2}=2^2\cdot 3=12$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(2\sqrt{3})^2}{120}=\dfrac{12}{120}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{12}{120}=\dfrac{1}{10}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{1}{10}=0{,}1$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 321

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{18} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{18}=\sqrt{3^2\cdot 2}=3\sqrt{2}$

Число 18 представляем как 9 · 2; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{18} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot 2=4$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 322

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)=(\sqrt{11})^{2}-(3)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{11})^{2}=11$

$(3)^{2}=9$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$11-9=2$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 323

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^2 \cdot a^4}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{2}\cdot a^{4}=a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^2 \cdot a^4}=1\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{3}|=a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 324

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 10ab + 25b^2}$

При $a=8{,}\quad b=-2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+10\cdot a\cdot b+25\cdot b^{2}=(a + 5 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 10ab + 25b^2}=|a + 5 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 5 b=(8) + 5 (-2)=-2$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-2|=2$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 325

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{3^{-4} \cdot 3^{14}}{3^8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{3^{-4} \cdot 3^{14}}{3^8}=3^{-4+14-8}$

$3^{-4+14-8}=3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}=9=9$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 326

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{48} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{48}=\sqrt{4^2\cdot 3}=4\sqrt{3}$

Число 48 представляем как 16 · 3; корень из 16 равен 4.

$4\sqrt{3}-\sqrt{3}=(4-1)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{48} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\cdot 3=9$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 327

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{6}\cdot (-(a))^{2}=a^{8}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}=1\cdot |a^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{4}|=a^{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 328

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^{10} \cdot 11^7}{22^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$22=2\cdot 11$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{2^{10} \cdot 11^7}{22^7}=2^{10-7}\cdot 11^{7-7}$

$2^{10-7}\cdot 11^{7-7}=2^{3}\cdot 11^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}\cdot 11^{0}=8\cdot 1=8$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 329

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{27} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{27}=\sqrt{3^2\cdot 3}=3\sqrt{3}$

Число 27 представляем как 9 · 3; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{3}-\sqrt{3}=(3-1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{27} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=2\cdot 3=6$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 330

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{6}\cdot (-(a))^{2}=a^{8}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}=1\cdot |a^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{4}|=a^{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.